Soit \(x\in\Rr\). La fonction \(t\mapsto\mbox{Max}(x,t)=\frac{1}{2}(x+t+|x-t|)\) est continue sur \([0,1]\) en vertu de théorèmes généraux. Par suite, \(\int_{0}^{1}\mbox{Max}(x,t)\;dt\) existe.

Si \(x\leq0\), alors \(\forall t\in[0,1]\), \(x\leq t\) et donc \(\mbox{Max}(x,t)=t\). Par suite, \(f(x)=\int_{0}^{1}t\;dt=\frac{1}{2}\).

Si \(x\geq1\), alors \(\forall t\in[0,1]\), \(t\leq x\) et donc \(\mbox{Max}(x,t)=x\). Par suite, \(f(x)=\int_{0}^{1}x\;dt=x\).

Si \(0<x<1\),

\[f(x)=\int_{0}^{x}x\;dt+\int_{x}^{1}t\;dt=x^2+\frac{1}{2}(1-x^2)=\frac{1}{2}(1+x^2).\]

En résumé, \(\forall x\in\Rr,\;f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}\;\mbox{si}\;x\leq0\\ \frac{1}{2}(1+x^2)\;\mbox{si}\;0<x<1\\ x\;\mbox{si}\;x\geq1 \end{array} \right.\).

\(f\) est déjà continue sur \(]-\infty,0]\), \([1,+\infty[\) et \(]0,1[\). De plus, \(f(0^+)=\frac{1}{2}=f(0)\) et \(f(1^-)=1=f(1)\). \(f\) est ainsi continue à droite en \(0\) et continue à gauche en \(1\) et donc sur \(\Rr\).

\(f\) est de classe \(C^1\) sur \(]-\infty,0]\), \([1,+\infty[\) et \(]0,1[\). De plus, \(\lim_{x\rightarrow 0,\;x>0}f'(x)=\lim_{x\rightarrow 0,\;x>0}x=0\). \(f\) est donc continue sur \([0,1[\) de classe \(C^1\) sur \(]0,1[\) et \(f'\) a une limite réelle quand \(x\) tend vers \(0\). D’après un théorème classique d’analyse, \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([0,1[\) et en particulier, \(f\) est dérivable à droite en \(0\) et \({f'}_{d}(0)=0\). Comme d’autre part, \(f\) est dérivable à gauche en \(0\) et que \({f'}_{g}(0)=0={f'}_{d}(0)\), \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=0\).

L’étude en \(1\) montre que \(f\) est dérivable en \(1\) et que \(f'(1)=1\). Le graphe de \(f\) est le suivant :

\[\]

exo7 5473