Soient \(b\) et \(\delta b\) deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) avec \(b\neq 0\) et \(A=(a_{ij})\in\mathbb{R}^{n\times n}\) une matrice inversible. La matrice \(A\) étant inversible, soient \(X\) l’unique solution de \(AX=b\) et \(X+\delta X\) l’unique solution de \(A(X+\delta X)=b+\delta b\).
1
Démontrer que : \[\frac{||\delta X||}{||X||}\leq \text{cond}(A) \frac{||\delta b||}{||b||}\]
2
En déduire l’encadrement \[\frac{1}{\text{cond}(A)} \frac{||\delta b||}{||b||} \leq \frac{||\delta X||}{||X||} \leq \mathrm{cond}(A) \frac{||\delta b||}{||b||}\]