Montrons le résultat par récurrence sur \(n =\text{dim} E\geqslant 1\).

Si \(n = 1\), c’est clair.

Soit \(n\geqslant 1\). Supposons que deux endomorphismes d’un \(\Cc\)-espace de dimension \(n\) qui commutent soient simultanément trigonalisables.

Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d’un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension \(n+1\) tels que \(fg = gf\).

\(f\) et \(g\) ont au moins un vecteur propre en commun. En effet, \(f\) admet au moins une valeur propre \(\lambda\). Soit \(E_\lambda\) le sous-espace propre de \(f\) associé à \(\lambda\). \(g\) commute avec \(f\) et donc laisse stable \(E_\lambda\). La restriction de \(g\) à \(E_\lambda\) est un endomorphisme de \(E_\lambda\) qui est de dimension finie non nulle. Cette restriction admet donc une valeur propre et donc un vecteur propre. Ce vecteur est un vecteur propre commun à \(f\) et \(g\).

Commençons à construire une base de trigonalisation simultanée de \(f\) et \(g\). Soit \(x\) un vecteur propre commun à \(f\) et \(g\). On complète la famille libre \((x)\) en une base \(\mathcal{B}= (x,...)\) de \(E\). Dans la base \(\mathcal{B}\), les matrices \(M\) et \(N\) de \(f\) et \(g\) s’écrivent respectivement \(M=\left( \begin{array}{cc} \lambda&\times\\ 0&M_1 \end{array} \right)\) et \(N=\left( \begin{array}{cc} \mu&\times\\ 0&N_1 \end{array} \right)\) où \(M_1\) et \(N_1\) sont de format \(n\). Un calcul par blocs montre que \(M_1\) et \(N_1\) commutent ou encore si \(f_1\) et \(g_1\) sont les endomorphismes de \(\Cc^n\) de matrices \(M_1\) et \(N_1\) dans la base canonique de \(\Cc^n\), \(f_1\) et \(g_1\) commutent. Par hypothèse de récurrence, \(f_1\) et \(g_1\) sont simultanément trigonalisables. Donc il existe une matrice inversible de format \(n\) \(P_1\) et deux matrices triangulaires supérieures de format \(n\) \(T_1\) et \(T_1'\) telles que \(P_1^{-1}M_1P_1=T_1\) et \(P_1^{-1}N_1P_1 = T_1'\).

Soit \(P=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&P_1 \end{array} \right)\). \(P\) est inversible de format \(n+1\) car \(\text{det}P =\text{det}P_1\neq0\) et un calcul par blocs montre que \(P^{-1}MP\) et \(P^{-1}NP\) sont triangulaires supérieures.

\(P\) est donc la matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à une base de trigonalisation simultanée de \(f\) et \(g\).

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