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Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence entre les propriétés :

: Pour tout \(a > 0\), la fonction \(z \mapsto f(z)e^{-a|z|}\) est bornée sur \(\C\).

: \(\sqrt[n]{n!\,|a_n|} \to 0\) lorsque \(n\to\infty\).

On utilisera les formules de Cauchy (cf. exercice [Cauchy]).