Soit \(F=(F_1,...,F_k)\) une application \(C^1\) d’un ouvert \(U\) de \(\Rr^m\) dans \(\Rr^k\). Notons \(M=\{x\in U\; ; \; F(x) =0 \}\) et soit \(a\in M\).
1
Établir l’équivalence des propriétés suivantes:
2
\(DF(a)\) est surjective.
3
Les formes linéaires \(DF_1(a), ..., DF_k(a)\) sont linéairement indépendantes.
4
\(\mathrm{Ker}\, DF(a) = \bigcap_{i=1}^k \mathrm{Ker}\, DF_i(a)\) est de dimension \(m-k\).
5
Un point \(a\in M\) est dit point régulier si \(DF(a)\) est surjective. Montrer que l’ensemble des points réguliers de \(M\) est un ouvert de \(M\).