Soit \(f(x)=\Argsh x+\Argch x\). La fonction \(f\) est bien définie, continue, et strictement croissante, sur \([1,+\infty[\) (comme somme de deux fonctions continues strictement croissantes).

De plus, \(f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty\), donc \(f\) atteint exactement une fois toute valeur de l’intervalle \([f(1),+\infty[\). Comme (par la formule logarithmique) \(f(1)=\Argsh 1=\ln(1+\sqrt{2})<\ln(e)=1\), on a \(1\in[f(1),+\infty[\). Par le théorème des valeurs intermédiaires l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution, que l’on notera \(a\).

Déterminons la solution : \[\begin{aligned} \sh 1&=&\sh(\Argsh a+\Argch a)\\ &=&\sh(\Argsh a)\ch(\Argch a)+\sh(\Argch a)\ch(\Argsh a)\\ &=&a^2+\sqrt{a^2-1}\sqrt{a^2+1}=a^2+\sqrt{a^4-1} \end{aligned}\] donc \(\sqrt{a^4-1}=\sh 1-a^2\). En élevant au carré et en simplifiant, on obtient \(a^2=\frac{1+\sh^21}{2\sh 1}=\frac{\ch^2 1}{2\sh 1}\). Comme on cherche \(a\) positif (et que \(\ch 1>0\)), on en déduit \(a=\frac{\ch 1}{\sqrt{2\sh 1}}\). Cette valeur est la seule solution possible de l’équation \(f(x)=1\), il faudrait normalement vérifier qu’elle convient bien, puisqu’on a seulement raisonné par implication (et pas par équivalence). Or on sait déjà que l’équation admet une unique solution: c’est donc nécessairement \[a=\frac{\ch 1}{\sqrt{2\sh 1}}= \tfrac{1}{2}\frac{e+\frac1e}{\sqrt{e-\frac1e}} = 1,0065\ldots.\]

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