Écrivons \(F(X)=\frac{P(X)}{Q(X)}\) avec \(P\) et \(Q\) deux polynômes premiers entre eux, avec \(Q\) unitaire. La condition \(\big(F(X)\big)^2=(X^2+1)^3\) devient \(P^2=(X^2+1)^3Q^2\). Ainsi \(Q^2\) divise \(P^2\). D’où \(Q^2=1\), puisque \(P^2\) et \(Q^2\) sont premiers entre eux. Donc \(Q=1\) (ou \(-1\)). Ainsi \(F=P\) est un polynôme et \(P^2=(X^2+1)^3\).

En particulier \(P^2\) est de degré \(6\), donc \(P\) doit être de degré 3. Écrivons \(P=aX^3+bX^2+cX+d\), on développe l’identité \(P^2=(X^2+1)^3\) :

\[\begin{array}{c} X^6+3X^4+3X^2+1 = \\ a^2X^6 + 2abX^5 + (2ac+b^2)X^4 + (2ad+2bc)X^3 + (2bd+c^2)X^2 + 2cdX+d^2 \end{array}\]

On identifie les coefficients : pour le coefficient de \(X^6\), on a \(a=\pm1\), puis pour le coefficient de \(X^5\), on a \(b =0\) ; pour le coefficient de \(1\), on a \(d=\pm 1\), puis pour le coefficient de \(X\), on a \(c=0\). Mais alors le coefficient de \(X^3\) doit vérifier \(2ad+2bc=0\), ce qui est faux.

Ainsi aucun polynôme ne vérifie l’équation \(P^2=(X^2+1)^3\), et par le raisonnement du début, aucune fraction non plus.

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