Pour \(x\in]-1,1[\), posons \(M(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left( \begin{array}{cc} 1&x\\ x&1 \end{array} \right)\). Posons ensuite \(G=\{M(x),\;x\in]-1,1[\}\).

Soit alors \(x\in]-1,1[\). Posons \(a=\Argth x\) de sorte que \(x=\mbox{th}a\). On a

\[M(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left( \begin{array}{cc} 1&x\\ x&1 \end{array} \right)=\ch a\left( \begin{array}{cc} 1&\tanh a\\ \tanh a&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \ch a&\sh a\\ \sh a&\ch a \end{array} \right).\]

Posons, pour \(a\in\Rr\), \(N(a)=\left( \begin{array}{cc} \ch a&\sh a\\ \sh a&\ch a \end{array} \right)\). On a ainsi \(\forall x\in]-1,1[,\;M(x)=N(\Argth x)\) ou aussi, \(\forall a\in\Rr,\;N(a)=M(\mbox{th}a)\). Par suite, \(G=\{N(a),\;a\in\Rr\}\).

Soit alors \((a,b)\in\Rr^2\).

\[\begin{align*}\ensuremath N(a)N(b)&=\left( \begin{array}{cc} \ch a&\sh a\\ \sh a&\ch a \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \ch b&\sh b\\ \sh b&\ch b \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \ch a\ch b+\sh a\sh b&\sh a\ch b+\sh b\ch a\\ \sh a\ch b+\sh b\ch a&\ch a\ch b+\sh a\sh b \end{array} \right) \\ &=\left( \begin{array}{cc} \ch(a+b)&\sh(a+b)\\ \sh(a+b)&\ch(a+b) \end{array} \right) =N(a+b). \end{align*}\]

Montrons alors que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathcal{GL}_2(\Rr),\times)\).

\(N(0)=I_2\in G\) et donc \(G\) est non vide.

\(\forall a\in\Rr,\;\mbox{det}(N(a))=\ch^2a-\sh^2a=1\neq0\) et donc \(G\subset\mathcal{GL}_2(\Rr)\).

\(\forall(a,b)\in\Rr^2,\;N(a)N(b)=N(a+b)\in G\).

\(\forall a\in\Rr,\;(N(a))^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \ch a&-\sh a\\ -\sh a&\ch a \end{array} \right)=N(-a)\in G\).

On a montré que \(G\) est un sous-groupe de \((\mathcal{GL}_2(\Rr),\times)\).

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