Deux cas particuliers se traitent immédiatement.

Si \(f=0\), on prend \(p=0\) et \(g=Id_E\) et si \(f\in\mathcal{GL}(E)\), on prend \(p=Id_E\) et \(g=f\).

On se place dorénavant dans le cas où \(\text{Ker}f\) et \(\text{Im}f\) ne sont pas réduit à \({0}\).

Soit \(F\) un supplémentaire de \(\text{Ker}f\) dans \(E\) et \(G\) un supplémentaire de \(\text{Im}f\) dans \(E\).

On sait que la restriction \(f'\) de \(f\) à \(F\) réalise un isomorphisme de \(F\) sur \(\text{Im}f\). D’autre part \(\text{dim}\text{Ker}f=\text{dim}G<+\infty\) et donc \(\text{Ker}f\) et \(G\) sont isomorphes. Soit \(\varphi\) un isomorphisme de \(\text{Ker}f\) sur \(G\).

On définit une unique application linéaire \(g\) en posant \(g_{/\text{Ker}f}=\varphi\) et \(g_{/F}=f'\).

\(g\) est un automorphisme de \(E\). En effet,

\(g(E)=g(\text{Ker}f +F)=g(\text{Ker}f) +g(F)=\varphi(\text{Ker}f) + f'(F)=G +\text{Im}f=E\),

(puisque \(\varphi\) et \(f'\) sont des isomorphismes) et donc \(g\) est surjective. Par suite \(g\) est bijective de \(E\) sur lui-même puisque \(\text{dim}E<+\infty\).

Soit \(p\) la projection sur \(F\) parallèlement à \(\text{Ker}f\). On a

\((g\circ p)_{/\text{Ker}f}= g\circ0_{/\text{Ker}f}= 0_{/\text{Ker}f}=f_{/\text{Ker}f}\) et \((g\circ p)_{/F}=g\circ Id_{/F}=f'=f_{/F}\).

Ainsi les endomorphismes \(g\circ p\) et \(f\) coïncident sur deux sous espaces supplémentaires de \(E\) et donc \(g\circ p=f\). Finalement, si on note \(P(E)\) l’ensemble des projecteurs de \(E\),

\(\forall f\in\mathcal{L}(E)\), \(\exists g\in\mathcal{GL}(E)\), \(\exists p\in P(E)/\;f=g\circ p\).

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