Domaine de définition. Soit \(t\in\Rr\). Pour chaque \(n\in\Nn^*\), \(f_n(t)\) existe et de plus \(f_n(t)=\frac{\Arctan(nt)}{n^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}O\left(\frac{1}{n^2}\right)\). Donc la série numérique de terme général \(f_n(t)\), \(n\geqslant1\), converge absolument et en particulier converge. On a montré que

\(f\) est définie sur \(\Rr\).

Parité. Pour tout réel \(t\),

\(f(-t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Arctan(-nt)}{n^2}=-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\Arctan(nt)}{n^2}=-f(t)\).

\(f\) est impaire.

Convergence normale. Pour tout réel \(t\) et tout entier naturel non nul \(n\), \(|f_n(t)|\leqslant\frac{\pi}{2n^2}\) et donc pour tout entier naturel non nul \(n\),

\(\underset{t\in\Rr}{\text{sup}}|f_n(t)|\leqslant\frac{\pi}{2n^2}\).

Comme la série numérique de terme général \(\frac{\pi}{2n^2}\), \(n\geqslant1\), converge, la série de fonctions de terme général \(f_n\) converge normalement et donc uniformément vers \(f\) sur \(\Rr\).

Limite de \(f\) en \(+\infty\). Puisque la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\geqslant1\), converge uniformément vers \(f\) sur \(\Rr\) et que chaque fonction \(f_n\) a une limite réelle quand \(t\) tend vers \(+\infty\) à savoir \(\ell_n=\frac{\pi}{2n^2}\), le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que \(f\) a une limite réelle en \(+\infty\) et que

\(\lim_{t \rightarrow +\infty}f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ell_n=\frac{\pi}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^3}{12}\).

\(\lim_{t \rightarrow +\infty}f(t)=\frac{\pi^3}{12}\) et \(\lim_{t \rightarrow -\infty}f(t)=-\frac{\pi^3}{12}\).

Continuité. Puisque chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn^*\), est continue sur \(\Rr\) et que la série de fonctions de terme général \(f_n\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\Rr\), la fonction \(f\) est continue sur \(\Rr\) en tant que limite uniforme sur \(\Rr\) d’une suite de fonctions continues sur \(\Rr\).

\(f\) est continue sur \(\Rr\).

Dérivation. Soit \(a>0\). Chaque fonction \(f_n\), \(n\geqslant1\), est de classe \(C^1\) sur \([a,+\infty[\) et pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\geqslant a\),

\(f_n'(t)=\frac{n}{n^2(1+n^2t^2)}=\frac{1}{n(1+n^2t^2)}\).

Pour \(n\in\Nn^*\), on a alors \(\underset{t\in[a,+\infty[}{\text{sup}}|f_n'(t)|=f_n'(a)=\frac{1}{n(1+n^2a^2)}\). Puisque \(\frac{1}{n(1+n^2a^2)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{a^2n^3}>0\), la série de terme général \(\frac{1}{n(1+n^2a^2)}\) converge et par suite, la série de fonctions de terme général \(f_n'\), \(n\geqslant1\), converge normalement et donc uniformément sur \([a,+\infty[\).

En résumé,

la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\geqslant 1\), converge simplement vers \(f\) sur \([a,+\infty[\),

chaque fonction \(f_n\) est de classe \(C^1\) sur \([a,+\infty[\),

la série de fonctions de terme général \(f_n'\) converge uniformément sur \([a,+\infty[\).

D’après un corollaire du théorème de dérivation terme à terme, \(f\) est de classe \(C^1\) sur \([a,+\infty[\) et sa dérivée s’obtient par dérivation terme à terme. Ceci étant vrai pour tout \(a>0\), \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et puisque \(f\) est impaire

\(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^*\) et \(\forall t\in\Rr^*\), \(f'(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(1+n^2t^2)}\).

Dérivabilité en \(0\). La fonction \(f'\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\). Donc la fonction \(f'\) admet une limite en \(0^+\) élément de \(]-\infty,+\infty]\). Pour \(t>0\) et \(N\in\Nn^*\), on a \(f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(1+n^2t^2)}\) et quand \(t\) tend vers \(0\), on obtient

\(\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}\).

Cette inégalité étant vraie pour tout entier naturel non nul \(N\), quand \(N\) tend vers \(+\infty\) on obtient

\(\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)\geqslant\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}=+\infty\).

On a montré que \(\displaystyle\lim_{\substack{t\rightarrow0\\ t>0}}f'(t)=+\infty\).

En résumé, \(f\) est de classe \(C^0\) sur \([0,+\infty[\), de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et \(f'(t)\) tend vers \(+\infty\) quand \(t\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures. D’après un corollaire du théorème des accroissements finis, on sait que \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) à droite et que sa courbe représentative admet \([Oy)\) pour demi-tangente en \((0,0)\). Puisque \(f\) est impaire, \(f\) n’est pas dérivable en \(0\) et sa courbe représentative admet \((Oy)\) pour tangente en \((0,0)\).

Allure du graphe.

\[\]

exo7 5735