Si \((x,y,z)\) est une solution, alors en sommant les trois équation on obtient \[4x + \frac{18}{y} +2y + \frac{9}{z} +9z + \frac{16}{x} =14+15+17 = 46.\] D’autre part, par inégalité arithmético-géométrique, on a

\[4x+\frac{16}{x} \geq 2\sqrt{4x\cdot \frac{16}{x}} = 16,\quad 2y+\frac{18}{y} \geq 12,\quad 9z+\frac{9}{z} \geq 18,\] d’où \[4x+\frac{16}{x} + 2y+\frac{18}{y} + 9z+\frac{9}{z} \geq 46,\] avec égalité ssi chacune des trois inégalité sont des égalités donc ssi \((x,y,z)=(2,3,1)\).

Le système d’équations admet donc une unique solution, \((2,3,1)\).

exo7 7180