Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
d) Calculs d’intégrales
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Calcul à l’aide d’une primitive. | À ce stade, le lien entre primitives et intégrales est admis. On interprétera l’intégrale en termes d’aires et les propriétés de l’intégrale seront étudiées plus formellement dans le chapitre Analyse 8. |
Intégration par parties. | |
Changement de variable. | La théorie du changement de variable sera faite dans Analyse 8. |
exo7 4240
Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).
exo7 4243
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 4244
Étudiez la limite de la suite définie par \(u_n=\frac n2-\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}\cdotp\)
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4255
On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4263
...
exo7 4265
...
exo7 4266
...
exo7 4267
\(\int_{t=0} ^{\pi/2} \cos^4t \,d t = \frac{3\pi}{16}\)
...
exo7 4268
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}}\) (cv)
...
exo7 4269
\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)
...
exo7 4270
\(\int_0^{2\pi} \frac{ d t}{2+\sin{t}} = \frac{ 2\pi}{\sqrt3}\)
...
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4275
Existence et calcul de \(f(x) = \int_0^\pi\frac{dt}{1-x\cos t}\).
exo7 4277
On pose \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t\) (\(n\in\N^*\)). C ...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
exo7 4288
Calculer ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4303
On admet que \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Calculer les intégrales : ...
exo7 4306
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que ...
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4316
Chercher \(\lim_{x\to0^+} \int_{t=x}^{x^2} \frac{e^{-t}\,d t}{\sin t\ln t}\).
exo7 4320
Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4325
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4326
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4328
Chercher un équivalent pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4339
Calculer \(\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}\).
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4345
On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...
exo7 4357
Soient \(J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}\) et ...
exo7 4377
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t\). Étudier le domaine de définition de ...
exo7 4386
Soit \(I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x\).
En calculant ...
exo7 4388
Soit \(\cal E\) l’ellipse d’équation \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) ( ...
exo7 4398
Dans le plan \(Oxy\) on considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5079
Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5466
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
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exo7 5467
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
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