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Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...

Calculer \[\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.\] Donner un équivalent de ...

A

Soit \(n\in\N^*\). Montrer l’existence de \(P_n\in\R[X]\) tel que ...

Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).

Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe telle que \({\cal C}_f\) admet une asymptote d ...

Soit \(f:\R \to \R\) trois fois dérivable en \(a\). Étudier ...

Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tous ...

Soit \(f : {[-a,a]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Montrer que :

...

Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe ...

Calculer le développement limité de \(\left(\frac{\tan x}x\right)^{1/x^2}\) en  ...

\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...

\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...

\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...

\(\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0\) lorsque ...

Soient \(a_1,\dots,a_n \in \R\). CNS pour que ...

On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...

Calculer \(\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac k{n^2}\) puis ...

Pour chacune des courbes suivantes, déterminer la tangente pour \(x=0\) et la position de la courbe par rapport à ...

On pose : \(f(x) = 1/(1+x)\), \(g(x) = e^{-x}\), ...

Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...

Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...

Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), ...

Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...

Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable. Chercher ...

Soit \(f : \R \to \R\) convexe dérivable telle que ...

Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...

On note \(f_n(x) = x\cos^nx\). Soit \(x_n \in \left[0,\frac \pi2 \right]\) tel qu ...

Soit \(f : x \mapsto \frac{x+1}x e^x\).

Soit \(f(x) = \frac{\ln|x-2|}{\strut\ln|x|}\). Montrer que pour tout \(n\in\N^*\) ...

Soit \(u_n\) une suite réelle telle que pour tout \(n\) on ait ...

Montrez que pour \(n\) entier (\(n>0\)) l’équation ...

Trouver \(a,b\in\R\) tels que \[\cos x - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}\] soit un ...

Trouver \(a,b\in\R\) tels que \(\sin x - \frac{x+ax^3}{1+bx^2}\) soit infiniment ...

Simplifier \(\arccos(1-2x^2)\), en trouver un équivalent pour \(x \to 0\), puis d ...

Soient \(P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7\) et ...

Soient \(u,v\) deux fonctions positives, \(u \sim v\), ...

Chercher un équivalent simple en \(0^+\) de ...

Soit \(f(x) = \ln(1+x) - x\).

On désigne par \(y\) la solution de l’équation différentielle ...

On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...

Montrer que l’équation : \(x^3+y^3-3xy=1\) définit au voisinage de \(0\) une fonc ...

Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).

Pour ...

On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...

Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).

Pour \(0<a<b\), déterminez ...

Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).

Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).

Soit \(a > 0\). Donner le DL en \(x=1\) à l’ordre 3 de ...

Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...