Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Géométrie 1
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Ce chapitre vise à consolider les acquis des années antérieures sur les notions de vecteurs, droites et plans dans le plan et l’espace géométriques. En mathématiques, il sert essentiellement de support intuitif et introductif à l’algèbre linéaire ; il permet aussi de présenter le produit scalaire qui sera étudié dans des espaces plus généraux en seconde année. Enfin, ce chapitre sert également aux sciences physiques et à la géologie.
En mathématiques, une épreuve écrite ou orale ne doit pas reposer sur ce chapitre.
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan et l’espace géométriques formés de points et dans lesquels plusieurs notions et résultats sont supposés connus : distance entre deux points, parallélisme, perpendicularité, angle géométrique, angle orienté, angle droit, cosinus d’un angle géométrique, trigonométrie du triangle rectangle.
- a) Vecteurs du plan et de l’espace. 50
- b) Déterminant 17
- c) Droites et cercles dans le plan 168
- d) Droites et plans dans l’espace 122
- e) Projection orthogonale 61
- f) Produit scalaire 78
exo7 4909
On considère une parabole dans le plan euclidien.
exo7 4913
Soient \({\cal E} : \frac {x^2}{4a^2} + \frac {y^2}{4b^2} = 1\), et ...
exo7 4914
Soient \(P\) un point mobile sur \(Ox\), et ...
exo7 4915
Soit \({\cal E}\) une ellipse de foyer \(F\), directrice ...
exo7 4916
Soit \({\cal E}\) un ellipse de centre \(O\) et de dimensions ...
exo7 4923
Soient \(A,A'\) deux points distincts et \({\cal C}\) le cercle de diamètre ...
exo7 4924
Soit \(\cal H\) une hyperbole équilatère et \(ABC\) un triangle dont les sommets ...
exo7 4930
Soit \(D\) la droite d’équations ...
exo7 4931
Soit \({\cal P}\) le paraboloïde d’équation \(z= xy\). Montrer que par tout point ...
exo7 4936
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4937
Soient \(D,D'\) deux droites non coplanaires et \({\cal S}\) l’ensemble des p ...
exo7 4938
On considère un point \(F\), un plan \(P\) ne passant pas par ...
exo7 4941
Dans l’espace, soit \(P\) le plan d’équation \(z=0\) et ...
exo7 4945
Soient \({\cal T},{\cal T}'\) deux torseurs de sommes non nulles, orthogonales. Montrer que le comoment de ...
exo7 4946
Soit \({\cal R} = (O,\vec i,\vec j,\vec k)\) un repère orthonormé direct de l’espace. On considère les glisseurs : ...
exo7 4949
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\).
Quels sont les points ...
exo7 4950
Soit \(ABC\) un triangle et \(\mathcal{C}\) son cercle circonscrit. Soit ...
exo7 4952
Pour \(\lambda \in \R\) on considère la droite \(D_\lambda\) d’équation cartésien ...
exo7 4953
Soient \(D,D'\) deux droites distinctes sécantes en \(O\).
On note ...
exo7 4957
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\). ...
exo7 4958
Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points distinct ...
exo7 4959
Soient \(A,B,C,D,E\) cinq points de l’espace et \(k \in \R\).
Déterminer l ...
exo7 4960
Trouver les coordonnées des projetés du point \(C(3,4,-2)\) sur les droites définies par les équations :
...
exo7 4961
Dans un rond on donne les plans ...
exo7 4962
Dans un rond on donne les points \(A:(1,2,3)\), \(B:(2,3,1)\), ...
exo7 4963
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x - y + z = -1 \cr 2x + y - z = 0 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4964
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4965
Soit \(ABCD\) un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à d ...
exo7 4966
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier de côté \(a\). Chercher la distance entre deu ...
exo7 4967
Dans un rond on donne la droite \(D : \begin{cases} x +2y - z = -3 \cr x - y +2z = -4\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4968
Dans un rond on donne le plan \(P : x + 2y + 3z = 4\). Déterminer l’expression analytique de la projectio ...
exo7 4969
Dans un rond on donne les points \(A:(1, 0, -1)\), \(B:(-1, 1, 1)\), ...
exo7 4970
Dans un rond on donne les plans \(P : x+y+z = 1\) et \(Q : 2x-y+z=1\). C ...
exo7 4972
Soient \(P\) un plan, \(D\) une droite tels que ...
exo7 4975
Soit \(S\) une partie de l’espace contenant au moins deux points et telle que pour tout plan ...
exo7 4981
Soient \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) trois droites d ...
exo7 4989
Soit \(\Gamma\) un cercle de centre \(O\) et de rayon 1, ...
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4998
\[
\]
Trouver les courbes ...
exo7 5001
On se place dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Donner l’ensemble des trajectoires orthogonales de la famille des cercle ...
exo7 5009
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle : \(x^2+y^2=1\). Soit ...
exo7 5018
Chercher l’enveloppe d’un diamètre \(\Delta\) d’un cercle \(\cal C\) roulant sans ...
exo7 5019
Soit \(\cal C\) un cercle passant par \(O\) centré sur ...
exo7 5033
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 5042
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...
exo7 5055
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle intersection de la sphère d’équation ...
exo7 5059
Soit \({\cal S}\) la sphère de centre \(A=(a,0,0)\) et de rayon ...
exo7 5061
On considère la droite \(\Delta\) d’équations : \(x=a\), ...
exo7 5133
Pour \(z\in\Cc\setminus\{1\}\), on pose \(Z=\frac{1+z}{1-z}\). Déterminer et cons ...
exo7 5196
On donne les points \(A(1,2)\), \(B(-2,1)\) et ...