Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
d) Droites et plans dans l’espace
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Base d’un plan. Représentation paramétrique d’un plan. Vecteur normal à un plan. Équation cartésienne d’un plan obtenue à l’aide d’un vecteur normal. | Les sphères ne sont pas un attendu du programme. Un plan est déterminé par la donnée d’un point $A$ et de deux vecteurs $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ non colinéaires : on dit que le triplet $(A, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ forme un repère du plan, et le couple $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ une base du plan. |
Vecteur directeur d’une droite. Représentation paramétrique d’une droite. Équations cartésiennes (système d’équations linéaires) d’une droite. |
exo7 1012
Déterminer une base de \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}\).
exo7 131
\(x\), \(y\), \(z\) étant des nombres réels, rés ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1828
Trouver le point du plan \((2x-y + z = 16)\) le plus proche de l’origine.
exo7 1922
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d’axes \((Ox)\) et ...
exo7 1971
Une bimédiane d’un tétraèdre est une droite qui passe par les milieux de deux arêtes opposées. Montrer que les trois bimédianes sont concourantes. ...
exo7 2010
Les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 2011
Trouver une équation du plan \((P)\) défini par les éléments suivants, où \(A\), ...
exo7 2012
Les plans suivants sont-ils parallèles ou sécants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite ...
exo7 2013
Quelle est la nature de l’intersection des trois plans suivants? Si c’est un point en donner les coordonnées, si c’est une droite en donner un vect ...
exo7 2014
Les droites suivantes sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ? Si elles sont sécantes donner leur point d’intersection et si elles sont ...
exo7 2015
Dans chacun des cas suivants dire si la droite \((D)\) et le plan \((P)\) sont pa ...
exo7 2016
On considère les cinq points suivants: \(A(1,2,-1)\), \(B(3,2,0)\), ...
exo7 2017
Soient \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\) trois droites ...
exo7 2018
On considère les quatre points suivants: \(A(2,0,0)\), \(B(-1,\sqrt{3},0)\), ...
exo7 2019
Donner une condition sur \(m\) pour que les trois plans suivants se coupent sur une même droite. ...
exo7 2020
On considère la famille de plans \((P_m)_{m\in \Rr}\) définis par les équations cartésiennes : ...
exo7 2021
Déterminer la distance du point \(A\) au plan \((P)\)
exo7 2022
On considère les deux droites \((D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\\ -x-y+2=0 \end{array} \right.\) et ...
exo7 2023
On se donne \(2\) droites \(D_1\) et \(D_2\) aya ...
exo7 2024
Déterminer les plans bissecteurs de :
\(P: x+y+z+3=0\) et ...
exo7 2025
Déterminer l’expression analytique de la réflexion \(s\) de plan \(x + y-z = 1\). ...
exo7 2026
Déterminer la distance du point \(M = (1, 2, 3)\) aux droites ...
exo7 2027
Soit deux plans ...
exo7 2028
Écrire l’équation du plan passant par la droite ...
exo7 2029
Soit la droite d’équations ...
exo7 2030
Soit les droites \(D\) et \(D'\) non coplanaires : ...
exo7 2031
On considère les 4 points \(A\), \(B\), \(C\), ...
exo7 2033
On considère les droites et les plans suivants dont les équations sont données dans le repère ...
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2042
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2043
Tout ce problème se situe dans l’espace euclidien tridimensionnel muni d’un repère orthonormé direct ...
exo7 2044
L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})\). ...
exo7 2045
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points distin ...
exo7 2631
Soit \(C\) le cône d’équation \(z^2= x^2+y^2\) et ...
exo7 2705
Montrer que les deux droites de l’espace d’équations paramétriques \({x = 2+2t}, {y =2+4t}, {z=2-4t}\) et ...
exo7 2706
Montrer que la courbe de l’espace d’équations paramétriques ...
exo7 2707
Hélice -
Étudier la courbe paramétrée de l’espace définie
par
...
exo7 4860
On considère deux plans non parallèles de \({\cal E}_3\) ayant pour équation dans un repère ...
exo7 4861
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4862
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4863
Soit \(\cal E\) un espace affine de dimension 3, et \(D,D',D''\) troi ...
exo7 4869
Soit la famille de droites : ...
exo7 4872
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Déterminer le ...
exo7 4880
On considère dans l’espace deux plans parallèles distincts \(\cal P\), ...
exo7 4885
Dans l’espace, les droites \((AA')\), \((BB')\), ...
exo7 4930
Soit \(D\) la droite d’équations ...