Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Comparaison de fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Croissances comparées des fonctions exponentielles, puissances et logarithmes. | Connaissance de $\lim_{x \mapsto 0} x^\alpha \ln^\beta(x)$, de $\lim_{x \mapsto +\infty} x^\alpha \exp(-\beta x^\gamma)$ où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ prennent des valeurs usuelles conduisant à des indéterminations. |
Fonctions équivalentes, notation $f \sim g$. L’équivalence est compatible avec la multiplication, la division et l’élévation à une puissance constante. Utilisation des équivalents pour la recherche de limites. | Le développement reste modeste et se limite aux fonctions qui ne s’annulent pas au voisinage du point de référence. |
Equivalents : vrai ou faux
\(x+1 \underset{x\longrightarrow+\infty}{\sim} x\)
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
Equivalents simples
- \question{ ...
Equivalents simples
Trouver un équivalent simple pour chaque fonction suivante :
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1214
Soient \(f\) et \(g\) équivalentes au voisinage de ...
exo7 1215
Montrer que si \(f\) tend vers \(0\) en \(a\) al ...
exo7 1216
Étudier en \(+ \infty\) et \(-\infty\) la fonction ...
exo7 1217
Calculer les limites de
exo7 1218
Trouver un équivalent simple en \(+ \infty\) de ...
exo7 1219
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - \sqrt[3]{x^3 - x^2}\)
exo7 1250
Montrer que pour tout ...
exo7 1255
Soit \((1)\) l’équation \(x-E (x) = \frac 1 {x^2}\).
exo7 1257
Calculer : \[\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}\] et donner un équiva ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1261
Soient \(u,v,f\) définies par : ...
exo7 1278
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) avec ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1287
Soit \(f\) une fonction positive décroissante de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 1299
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de ...
exo7 1940
Etudier les séries de termes généraux
exo7 2657
Calculer \[\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.\] Donner un équivalent de ...
exo7 3888
Montrer que : \(\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t\).
exo7 3890
Soient \(0 < a < b\). Montrer que : ...
exo7 3903
Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.
exo7 3930
A l’aide d’un changement de variable judicieux, trouver \(\lim_{x\to0^+} \frac {\arccos(1-x)}{\sqrt x}\).
exo7 3955
Soit \(P\) un polynôme. Montrer qu’il existe au plus un nombre fini de réels ...
exo7 3956
On veut calculer \(\ell = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n+1} + \dots + \frac 1{2n}\).
exo7 3963
Montrer que : \(\forall\ x \ge -1,\ \ln(1+x) \le x\).
exo7 4020
\(\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23\) lorsque ...
exo7 4021
\(\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12\). lorsque ...
exo7 4038
On note \(f_n(x) = x\cos^nx\). Soit \(x_n \in \left[0,\frac \pi2 \right]\) tel qu ...
exo7 4039
Soit \(f : x \mapsto \frac{x+1}x e^x\).
exo7 4040
Soit \(f(x) = \frac{\ln|x-2|}{\strut\ln|x|}\). Montrer que pour tout \(n\in\N^*\) ...
exo7 4047
Simplifier \(\arccos(1-2x^2)\), en trouver un équivalent pour \(x \to 0\), puis d ...
exo7 4049
Soient \(u,v\) deux fonctions positives, \(u \sim v\), ...
exo7 4050
Soit \(f : {[-1,+\infty[} \to {[-e^{-1},+\infty[}, x \mapsto {xe^x.}\) Montrer que ...
exo7 4051
Chercher un équivalent simple en \(0^+\) de ...
exo7 4052
Soit \(\alpha \in {]0,1[}\).
exo7 4053
Soit \(f(x) = \ln(1+x) - x\).
exo7 4228
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}\) pour ...
exo7 4255
On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
exo7 4291
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4300
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4302
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4354
Montrer que \(\Gamma(x+1) \sim x^xe^{-x}\sqrt{2\pi x}\) pour \(x\) réel tendant v ...
exo7 4357
Soient \(J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}\) et ...
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...