Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 4 – Nombres complexes
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Ce chapitre est entièrement nouveau pour la majorité des étudiants.
L’ensemble des nombres complexes est introduit pour munir le plan d’opérations compatibles avec celles déjà pratiquées sur la droite réelle. Cela permet de trouver, sans exhaustivité, des solutions à des équations algébriques. Ces équations seront essentiellement à coefficients réels, de petit degré et utiles par exemple pour alléger l’étude des suites réelles récurrentes linéaires à coefficients constants et des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
- a) Écriture algébrique des nombres complexes 98
- b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes 119
- c) Application aux équations du second degré. 48
exo7 7612
Soit \(c\in \Cc\). Montrer que si \(z\in\Cc\), alors ...
exo7 77
Soit \((A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})\) un pentagone régulier. On note \(O\) son ...
exo7 78
On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...
exo7 79
Calculer \(\cos 5\theta\), \(\cos 8\theta\), ...
exo7 8
Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués :
exo7 80
En utilisant les nombres complexes, calculer \(\cos 5\theta\) et \(\sin5\theta\) ...
exo7 81
Soit \(\theta \in \Rr\). A l’aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de ...
exo7 82
Exprimer \((\cos 5x) (\sin 3x)\) en fonction de \(\sin x\) et ...
exo7 83
Soit \(x\) un nombre réel. On note ...
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 9
Représenter sous forme trigonométrique les nombres : ...
exo7 93
Montrer que tout nombre complexe \(z\) non réel de module \(1\) peut se mettre so ...
exo7 94
Soit \(u\), \(v\) des nombres complexes non réels tels que ...
exo7 95
Calculer les sommes suivantes : \[\sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx).\]
exo7 96
Soit \(\Zz[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \Zz \}\).
exo7 97
Montrer que \(\forall z \in \Cc\) ...
exo7 98
Soit \((a, b, c, d) \in \Rr^4\) tel que \(ad-bc = 1\) et ...
exo7 99
Que dire de trois complexes \(a\), \(b\), \(c\) ...
Racines de nombres complexes
Calculer les racines carrées de \(1, i, 3+4 i, 8-6 i, 7+24 i\).
Second degré -- sans les racines
On note \((E)\) l’équation \(2x^2+11x-4=0\).
Simplification de nombres complexes
Simplifier au maximum les expressions complexes suivantes.
Toujours se méfier des inconnues
Soit \((E) : mx^2+x(2m-1)-2=0\) où \(x\) et ...
Équations
Résoudre les équations suivantes, d’inconnue \(x\).