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Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par ...

Soit \(n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}\). Montrer que ...

Soit le polynôme \(P \in \R[X]\) défini par : \[P(X) = (X^{2}+1)^2-X^2.\]

Considérons les deux fractions rationnelles \(P\) et \(Q\) suivantes: ...

On cherche à calculer le déterminant suivant, dit de Vandermonde : ...

Montrer que si \(x+y+z=a\), \(yz+zx+xy=b\), ...

Calculer le déterminant ...

Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...

Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...

Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...

Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...

Soit \(f(x)\in A[x]\) un polynôme sur un anneau \(A\). Supposons que ...

Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...

Soient \(P\in \Zz[x]\), \(n\in \Nn\), \(m=P(n)\) ...

En utilisant la formule du binôme montrer : ...

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...

Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...

Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...

Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...

Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...

Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivé ...

Déterminer \(x \in \Q\) sachant que :

Soient \(A,B,C,D \in {\R[X]}\) tels que : ...

Trouver tous les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que : ...

Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...

Soit \(P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1\).

Factoriser \(P(X) = 3X^4 + 11X^3 + 20X^2 + 7X - 5\), sachant qu’il existe des racines rationnelles.

Factoriser \(P = X^5 - 13X^4 + 67X^3 - 171X^2 + 216X - 108\) sachant qu’il admet une racine triple.

Donner une condition sur \(\lambda\) pour que l’équation : ...

Factoriser ...

Démontrer que \(1 + X + X^n\) n’a que des racines simples.

Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.

Soit \(P \in {\Z[X]}\) tel que \(P(x) = 7\) pour au moins 4 valeurs distinctes ...

Soit \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P\bigl(\sqrt2\bigr) = 0\). Démontre ...

Montrer que \(x = 2\cos\frac {2\pi}7\) est racine de \(X^3 + X^2 - 2X - 1\). Quel ...

Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.

Soit \(P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8\).

Trouver \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...

Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).

Pour \(x\in\R\) on note ...

Résoudre dans \(\C\) le système : ...

Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...

Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...

Chercher les valeurs propres des matrices :

Soit ...

On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec ...

Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...

Le polynôme \(X^{4}+X^{3}+2X^{2}+X+1\) peut-il être le polynôme minimal d’u ...

Déterminer \(a,b \in \Zz\) de façon à ce que le polynôme \(aX^{n+1}-bX^n+1\) soi ...

Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...

Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...