Programme de mathématiques BCPST, seconde année
Algèbre linéaire 2 – Applications linéaires et matrices
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Le passage aux espaces vectoriels quelconques pousse à redéfinir les notions liées aux applications linéaires. Il convient de faire cette adaptation avec une certaine brièveté afin de garder tout le temps requis pour traiter des exemples.
On travaille dans $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Applications linéaires 121
- b) Cas de la dimension finie 74
- c) Matrices et applications linéaires 41
- d) Changement de base 31
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3472
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
exo7 3474
Soit \(M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Déterminer ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3483
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et ...
exo7 3492
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) de rang 1. Montrer qu’il existe un unique ...
exo7 3558
Soit \(E\) un ev de dimension finie et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3569
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 3577
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) semblables sur \(\C\) : Il existe ...
exo7 3578
Soit ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3631
Soit \(E = \R_3[X]\) et \(a,b,c \in \R\) distincts. On considère les formes linéa ...
exo7 3634
Soient \(f_1,\dots,f_n\) des formes linéaires sur \(K^n\) telles qu’il existe ...
exo7 3637
Montrer l’existence et l’unicité d’une forme linéaire \(\Phi\) sur \(\R_n[X]\) te ...
exo7 3638
Soient \(f_1,\dots,f_n : \R \to \R\) \(n\) fonctions linéairement indépendantes. ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3643
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3644
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3647
Soit \(E\) un \(K\)-ev. On suppose qu’il existe ...
exo7 3648
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3650
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3651
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie.
exo7 3654
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\) ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 3706
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f \in \mathcal{L}(E)\) antisymétriq ...
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3787
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu’il existe une base orthonormée ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4070
Soit \(E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)\) et \(\Phi : E \to E\), définie par ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4284
Soit \(\varphi : {\R_n[X]} \to {\R^{n+1}}, P \mapsto {(a_0,\dots,a_n)}\) avec ...
exo7 430
Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), ...
exo7 4751
Soit \(A \in \mathcal{M}_p(\R)\) quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles convergeant ve ...
exo7 4788
Soit \(N\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer que \(N\) est nilpotente si et seulement ...
exo7 4795
Soit \(E = \mathcal{M}_n(\R)\), \(F = \R_n[X]\), et ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4872
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Déterminer le ...
exo7 4875
Soit \({\cal P}\) un plan, et \(f : {\cal P} \to {\cal P}\) une application affin ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5188
Soit ...
exo7 5190
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5191
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5192
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...