Soient \((z,z')\in\Cc^2\) et \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\).

\[f(\lambda z+\mu z')=(\lambda z+\mu z')+a(\overline{\lambda z+\mu z'})=\lambda(z+a{\bar z})+\mu(z'+a\overline{z'})=\lambda f(z)+\mu f(z').\] \(f\) est donc \(\Rr\)-linéaire. On note que \(f(ia)=i(a-|a|^2)\) et que \(if(a)=i(a+|a|^2)\). Comme \(a\neq0\), on a \(f(ia)\neq if(a)\). \(f\) n’est pas \(\Cc\)-linéaire. Soit \(z\in\Cc\setminus\{0\}\). Posons \(z=re^{i\theta}\) où \(r\in\Rr^*_+\) et \(\theta\in\Rr\).

\[z\in\mbox{Ker }f\Leftrightarrow z+a{\bar z}=0\Leftrightarrow e^{i\theta}+ae^{-i\theta}=0\Leftrightarrow e^{2i\theta}=-a.\] 1er cas. Si \(|a|\neq1\), alors, pour tout réel \(\theta\), \(e^{2i\theta}\neq-a\). Dans ce cas, \(\mbox{Ker }f=\{0\}\) et d’après le théorème du rang, \(\mbox{Im }f=\Cc\). 2ème cas. Si \(|a|=1\), posons \(a=e^{i\alpha}\).

\[e^{2i\theta}=-a\Leftrightarrow e^{2i\theta}=e^{i(\alpha+\pi)}\Leftrightarrow2\theta\in\alpha+\pi+2\pi\Zz\Leftrightarrow\theta\in\frac{\alpha+\pi}{2}+\pi\Zz.\] Dans ce cas, \(\mbox{Ker }f=\mbox{Vect}(e^{i(\alpha+\pi)/2})\). D’après le théorème du rang, \(\mbox{Im }f\) est une droite vectorielle et pour déterminer \(\mbox{Im }f\), il suffit d’en fournir un vecteur non nul, comme par exemple \(f(1)=1+a\). Donc, si \(a\neq-1\), \(\mbox{Im }f=\mbox{Vect}(1+a)\). Si \(a=-1\), \(\forall z\in\Cc,\;f(z)=z-{\bar z}=2i\mbox{Im }(z)\) et \(\mbox{Im }f=i\Rr\).

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