Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Compléments ensemblistes et notion de probabilité
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Définition de $\bigcap\limits_{n=0}^{+\infty} A_n$ et $\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty} A_n$. | |
Notion de tribu. | On convient de nommer événements les éléments d’une tribu. Une tribu $\mathscr{T}$ (ou $\sigma$-algèbre) sur $\Omega$ est une partie de $\mathscr{P}(\Omega)$ contenant $\Omega$, stable par passage au complémentaire et telle que, pour toute suite $(B_n)$ d’événements, la réunion des $B_n$ est un événement. Aucune question sur les tribus ne doit être proposée dans une épreuve de mathématiques. |
Définition d’une probabilité sur $(\Omega,\mathscr{T})$. | On met en valeur l’axiome de $\sigma-$additivité $P\Bigl(\bigcup\limits_{n=0}^{+\infty} B_n\Bigr)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} P(B_n)$ pour des suites $(B_n)$ d’événements deux à deux incompatibles, et on fait remarquer que la série $\sum\limits_{n\geq 0} P(B_n)$ converge. |
Définition d’un événement négligeable, d’un événement presque sûr. | On distingue l’événement impossible (resp. certain) des événements négligeables (resp. presque sûrs). |
Révisions et extensions à ce nouveau cadre des propriétés des probabilités et des définitions vues en première année, en particulier : | |
• Une suite d’événements $(A_n)$ est un système complet d’événements si les $A_n$ sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est égale à $\Omega$. | Pour une telle suite, on a $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} P(A_n)=1$. |
• Formule des probabilités totales : si $(A_n)$ est un système complet d’événements, alors, pour tout événement $B$, la série $\sum\limits_{n\geq 0} P(A_n\cap B)$ converge et $P(B)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} P(A_n\cap B)$. | Cette formule reste valable dans le cas d’une suite $(A_n)$ d’événements deux à deux incompatibles et tels que $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} P(A_n)=1$ ; on dira dans ce cas que le système est quasi-complet. Interprétation en termes de probabilités conditionnelles, avec la convention suivante : si $P(A_n)=0$, alors on pose $P(A_n)P_{A_n}(B)=0$. |
• Indépendance de deux événements. Indépendance (mutuelle) de $n$ événements, d’une suite d’événements. |
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