Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Structure vectorielle
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Structure d’espace vectoriel. Règles de calcul. | On met plus particulièrement en valeur les espaces vectoriels suivants : $\mathbb{K}^n$, $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, l’ensemble des applications définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}[X]$, $\mathbb{K}_n[X]$. L’étude d’espaces de suites n’est pas un attendu du programme. |
Combinaison linéaire d’une famille finie de vecteurs. Sous-espaces vectoriels. Intersection d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. | |
Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs. | On introduit la notation $\mathrm{Vect}(x_1,x_2,\dots,x_k)$. |
Famille génératrice finie d’un espace vectoriel (sous réserve d’existence). Famille libre finie. Famille liée finie. Exemple fondamental de famille libre : toute famille finie de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Base finie d’un espace vectoriel (sous réserve d’existence). Coordonnées d’un vecteur dans une base. Matrice des coordonnées d’une famille finie de vecteurs dans une base. | |
Bases canoniques de $\mathbb{K}^n$ et $\mathbb{K}_n[X]$. | D’autres exemples peuvent être proposés, mais les attendus du programme se limitent aux cas mentionnés. |
exo7 921
Si \(L,M,N\) sont trois sous-espaces vectoriels de \(E\), a-t-on : ...
exo7 928
Soient \(f\) et \(g\), applications de ...
exo7 940
Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de ...
exo7 950
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 958
Soit \(f\in L(E)\) où \(E\) est un \(K-\)espace ...
exo7 990
Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 999
On munit \(E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}\) de la loi interne “addition” + : ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.