Programme de mathématiques MP, MPI
f) Endomorphismes autoadjoints d’un espace euclidien
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Endomorphisme autoadjoint : définition par $u^*=u$. Stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable. | |
Caractérisation du caractère autoadjoint par la matrice en base orthonormée. | On mentionne la terminologie « endomorphisme symétrique », tout en lui préférant « endomorphisme autoadjoint ». Notation $\mathscr{S}(E)$. |
Les projecteurs orthogonaux sont les projecteurs autoadjoints. | |
Théorème spectral : si $u$ est un endomorphisme d’un espace euclidien $E$, alors $u$ est autoadjoint si et seulement si $E$ est somme orthogonale des sous-espaces propres de $u$ ou, de manière équivalente, s’il existe une base orthonormée diagonalisant $u$. | Interprétation matricielle : une matrice de $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ appartient à $\mathscr{S}_n(\mathbb{R})$ si et seulement si elle est orthogonalement diagonalisable. |
exo7 3802
Que peut-on dire de l’adjoint d’un projecteur orthogonal d’un espace euclidien ? Réciproque ?
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3804
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5801
Valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme de \(\Rr^3\) euclidien orienté défini par
...