Programme de mathématiques MP, MPI
c) Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Théorème d’Abel radial : si $\sum a_nx^n$ a pour rayon de convergence $R\in\mathbb{R}_+^*$ et si $\sum a_nR^n$ converge, alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\underset{x\to R^-}{\longrightarrow}\sum_{n=0}^{+\infty}a_nR^n$. | La démonstration est hors programme. |
La somme d’une série entière est de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur l’intervalle ouvert de convergence et ses dérivées s’obtiennent par dérivation terme à terme. | Relation $R\big(\sum a_nx^n\big)=R\big(\sum na_nx^n\big)$. |
Expression des coefficients d’une série entière de rayon de convergence strictement positif à l’aide des dérivées en 0 de sa somme. | Si les fonctions $x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ et $x\mapsto\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$ coïncident sur un intervalle $]0,\alpha]$ avec $\alpha>0$, alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $a_n=b_n$. |
Calcul d'une somme de série entière
Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Etude de séries entières
On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4593
Pour \(x \in \R\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n\sin\frac1{\sqrt n}\). ...
exo7 4594
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...
exo7 4595
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4600
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).
exo7 4601
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).
exo7 4602
On note \(T_n\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments.
exo7 4603
Soit \((a_n)\) la suite réelle définie par : \(a_0 = 1\), ...
exo7 5747
Développer en série entière les fonctions suivantes :
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exo7 5748
Pour \(x\) réel, on pose ...
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 5760
Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...