Pour tout entier naturel non nul, \(|a_n|\leqslant\frac{1}{n}\) et donc \(R\geqslant1\). Mais si \(x > 1\), la suite \(\left(\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\right)_{n\geqslant1}\) n’est pas bornée comme on le voit en considérant la suite extraite des termes d’indices multiples de \(3\) et donc \(R = 1\). Pour \(x\) dans \(]-1,1[\), \(f(x)=\text{Re}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(jx)^n}{n}\right)\). Le problème est alors de ne pouvoir écrire \(-\ln(1-jx)\). Il faut s’y prendre autrement.

\(f\) est donc dérivable sur \(]-1,1[\) et pour \(x\) dans \(]-1;1[\),

\(f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^{n-1}=\text{Re}\left(\sum_{n=0}^{+\infty}j^nx^{n-1}\right) =\text{Re}\left(\frac{j}{1-jx}\right)=\text{Re}\left(\frac{j(1-j^2x)}{x^2+x+1}\right) = -\frac{1}{2}\frac{2x+1}{x^2+x+1}\).

Par suite, pour \(x\in]-1,1[\), \(f(x) = f(0)+\int_{0}^{x}f'(t)\;dt= -\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)\).

\(\forall x\in]-1,1[\), \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^{n}=-\frac{1}{2}\ln(x^2+x+1)\).

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