On a \(I_0 = 0\), \(I_1 = 1\) et \(I_2 = 2\) (l’identité et la transposition \(\tau_{1,2}\)).

Soit \(n\in\Nn^*\). Il y a \(I_{n+1}\) involutions \(\sigma\) de \(\llbracket1,n+2\rrbracket\) vérifiant \(\sigma(n+2) =n+2\) car la restriction d’une telle permutation à \(\llbracket1,n+1\rrbracket\) est une involution de \(\llbracket1,n+1\rrbracket\) et réciproquement.

Si \(\sigma(n+2) = k\in\llbracket1,n+1\rrbracket\), nécessairement \(\sigma(k) =n+2\) puis la restriction de \(\sigma\) à \(\llbracket1,n+2\rrbracket\setminus\{k,n+2\}\) est une involution et réciproquement Il y a \(I_n\) involutions de \(\llbracket1,n+2\rrbracket\setminus\{k,n+2\}\) et \(n+1\) choix possibles de \(k\) et donc \((n+1)I_n\) involutions de \(\llbracket1,n+2\rrbracket\) telles que \(\sigma(n+2)\neq n+2\). En résumé,

\(\forall n\in\Nn^*\), \(I_{n+2}= I_{n+1}+(n+1)I_n\).

Le rayon \(R\) de la série entière associée à la suite \(\left(\frac{I_n}{n!}\right)_{n\in\Nn^*}\) est supérieur ou égal à \(1\) car \(\forall n\in\Nn^*\), \(\frac{I_n}{n!}\leqslant1\). Pour \(x\) dans \(]-R,R[\), posons \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{I_n}{n!}x^n\). \(f\) est dérivable sur \(]-R,R[\) et pour \(x\in]-R,R[\)

\[\begin{align*}\ensuremath f'(x)&=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{I_n}{(n-1)!}x^{n-1}=1+2x+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{I_{n+2}}{(n+1)!}x^{n+1}=1+2x+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{I_{n+1}+(n+1)I_n}{(n+1)!}x^{n+1}\\ &=1+2x+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{I_n}{n!}x^n+x\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{I_n}{n!}x^n\\ &=1+2x+f(x)-x+xf(x)=1+x+(x+1)f(x). \end{align*}\]

Donc, pour \(x\in]-R,R[\), \(f'(x)+(x+1)f(x)=x+1\) ou encore \(e^{\frac{x^2}{2}+x}f'(x)+(x+1)e^{\frac{x^2}{2}+x}f(x)=(x+1)e^{\frac{x^2}{2}+x}\). Par suite, pour \(x\in]-R,R[\),

\(e^{\frac{x^2}{2}+x}f(x)-f(0)=\int_{0}^{x}(t+1)e^{\frac{t^2}{2}+t}\;dt=e^{\frac{x^2}{2}+x}-1\),

et puisque \(f(0)=0\), \(\forall x\in]-R,R[\), \(f(x)=e^{\frac{x^2}{2}+x}-1\).

Réciproquement, la fonction précédente est développable en série entière sur \(\Rr\) en vertu de théorèmes généraux (\(=e^{\frac{x^2}{2}}\times e^x\)) et les coefficients de ce développement vérifient les relations définissant \(\frac{I_n}{n!}\) de manière unique. Donc, ces coefficients sont les \(\frac{I_n}{n!}\) ce qui montre que \(R = +\infty\).

\(\forall x\in\Rr\), \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{I_n}{n!}x^n=e^{\frac{x^2}{2}+x}-1\).

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