Programme de mathématiques MP, MPI
d) Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. | |
Inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Condition nécessaire et suffisante pour que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ soit un corps. | Notation $\mathbb{F}_p$ lorsque $p$ est premier. |
Théorème chinois : isomorphisme naturel de $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si $m\wedge n=1$ ; extension à plus de deux facteurs. | Application aux systèmes de congruences et à la résolution de systèmes d’équations dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. |
Indicatrice d’Euler $\varphi$. Calcul à l’aide de la décomposition en produits de facteurs premiers. | Relation $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ si $m$ et $n$ sont premiers entre eux ; expression de $\varphi(p^k)$ pour $p$ premier. |
Théorème d’Euler. | Lien avec le petit théorème de Fermat. |
exo7 7375
Quelle loi fait de l’ensemble de inversibles de l’anneau \(\Z/17\Z\) un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ?
exo7 7376
Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?
exo7 7380
Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?
exo7 7381
Donner un isomorphisme entre \(\Z/24\Z\) et un groupe produit.
exo7 7385
On rappelle que \(\mathbb{F}_5\) désigne le corps \(\Z/5\Z\) à cinq éléments.
exo7 7388
Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d’ordre \(4\).
exo7 7392
L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?
exo7 7394
Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{41} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...
exo7 7397
La classe \([51]\) est-elle inversible dans l’anneau \(\Z/131\Z\). Si oui, calcul ...
exo7 7402
Les groupes \(\Z/9\Z\) et \(\Z/3\Z\times \Z/3\Z\) sont-ils isomorphes ?
exo7 7409
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?
Probabilités et divisibilité
Soit un entier \(n\) naturel non nul et non premier. On note ...