Soit un entier \(n\) naturel non nul et non premier. On note \(k_1, k_2, \ldots , k_r\) les diviseurs premiers de \(n\).
Une urne contient \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\). On tire une boule au hasard de l’urne et on définit les événements \(A_{k_i}\) comme étant Le nombre est divisible par \(k_i\) .
Calculer la probabilité \(\prob(A_{k_i})\).
Calculer \(\prob(A_{k_{i_1}}\cap A_{k_{i_2}}\cap \ldots\cap A_{k_{i_k}})\) pour \(m\) quelconques de ces \(r\) événements. En déduire que \(A_{k_{1}}, A_{k_{2}}, \ldots, A_{k_{r}}\) sont \(r\) événements indépendants.
On appelle \(A\) l’événement le nombre choisi n’est divisible par aucun \(k_i\) . Calculer \(\prob(A)\). En déduire que le nombre d’entiers de \(\{1,2,\ldots,n\}\) qui sont premiers avec \(n\), c’est-à-dire qui n’ont aucun facteur premier commun avec \(n\), est \(\displaystyle \Phi(n)=n\prod_{i=1}^r\left(1-\frac{1}{k_i}\right)\).