On répète indépendamment une même expérience de Bernoulli, dont la probabilité de succès à chaque essai est \(p\in]0,1[\). On note \(X\) le rang du premier succès.
1
Que représente l’événement \(\{X=k\}\), pour \(k\geq 1\) ? Calculer \(\prob(X=1)\), \(\prob(X=2)\) et \(\prob(X=3)\).
2
Montrer que, pour tout entier \(k\geq 1\), \[\prob(X=k)=(1-p)^{k-1}p.\] En déduire que \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\).
3
Vérifier que cette formule définit bien une loi de probabilité.
4
Exprimer \(\prob(X>n)\) pour tout entier \(n\geq 0\). Interpréter cet événement dans le contexte de l’expérience.
5
Montrer que la probabilité que \(X\) prenne une valeur paire est \(\frac{1-p}{2-p}\).
6
A-t-on plus de chances que \(X\) donne un résultat pair ou impair ?