Programme de mathématiques MP, MPI
d) Dérivation d’une suite de fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $F$. Si $(u_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $u$, et si $(u_n')$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $v$, alors $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur tout segment de $I$, $u$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $I$ et $u'=v$. | En pratique, on vérifie la convergence uniforme de $(u_n')$ sur des intervalles adaptés à la situation. |
Extension aux suites de fonctions de classe $\mathscr{C}^k$, sous l’hypothèse de convergence simple de $(u_n^{(j)})$ pour $0\leqslant j\leqslant k-1$ et de convergence uniforme sur tout segment de $(u_n^{(k)})$. | En pratique, on vérifie la convergence uniforme de $(u_n^{(k)})$ sur des intervalles adaptés à la situation. |
exo7 4000
Soit \((a_n)\) une suite bornée de réels. On pose ...
exo7 4343
On pose \(I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t\).
exo7 4346
Soit \(I(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(2xt)\,d t\). Prouver que \(I\) e ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4502
Déterminer l’ensemble de définition de \(f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}\). Montrer que ...
exo7 4518
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4530
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).
exo7 4533
Étudier la convergence de la série \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{1+x^n}\).
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4538
Étudier la convergence simple, uniforme, de \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \bigl(\Arctan(x+n) - \Arctan(n)\bigr)\) ...
exo7 4540
Soit \(f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).
exo7 4545
Pour \(n\in\N^*\) et \(x\in[-1,1]\) on pose ...
exo7 4551
Pour \(x\in\R^+\) et \(n\in\N\), \(n\ge 2\) on p ...
exo7 4554
On pose \(\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}\).
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...
exo7 4657
Soit \(f : \R \to \C\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On suppose qu’il existe ...
exo7 5730
Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}\).
exo7 5731
Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(nx)}\).
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).