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Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}^+\cup\{+\infty\}$, l’espérance de $X$ est la somme, dans $[0,+\infty]$, de la famille $(x\,P(X=x))_{x\in X(\Omega)}$.

Notation $\mathrm{E}(X)$.

Pour une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}\cup\{+\infty\}$, égalité $\mathrm{E}(X)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}P(X\geqslant n)$.

Une variable aléatoire complexe $X$ est dite d’espérance finie si la famille $(x\,P(X=x))_{x\in X(\Omega)}$ est sommable ; dans ce cas, la somme de cette famille est l’espérance de $X$.

Notation $\mathrm{E}(X)$. Variables centrées.
La notation $X\in L^1$ signifie que $X$ est d’espérance finie.
On ne soulèvera aucune difficulté quant à la définition précise de $L^1$.

Espérance d’une variable géométrique, d’une variable de Poisson.
Formule de transfert : soit $X$ une variable aléatoire discrète, $f$ une fonction définie sur $X(\Omega)$ à valeurs complexes ; alors $f(X)$ est d’espérance finie si et seulement si la famille $\big(f(x)\,P(X=x)\big)_{x\in X(\Omega)}$ est sommable ; si tel est le cas : $\mathrm{E}\big(f(X)\big)=\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)}f(x)\,P(X=x)$.

Linéarité, positivité, croissance, inégalité triangulaire.

Caractérisation des variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ d’espérance nulle.

Si $\lvert X\rvert\leqslant Y$ et si $Y\in L^1$, alors $X\in L^1$.

Si $X$ et $Y$ sont dans $L^1$ et indépendantes, alors $XY$ est dans $L^1$ et :
$\mathrm{E}(XY)=\mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y).$

Extension au cas de $n$ variables aléatoires.