Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
B - Déterminants
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Les objectifs de cette partie sont les suivants :
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des matrices carrées et des endomorphismes ;
- indiquer quelques méthodes simples de calcul de déterminants.
- a) Formes $n$-linéaires alternées 5
- b) Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base 47
- c) Déterminant d’un endomorphisme 5
- d) Déterminant d’une matrice carrée 260
- e) Calcul des déterminants 133
- f) Comatrice 16
exo7 6385
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\).
exo7 6550
Calculer le résultant des polynômes :
exo7 6872
Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices : ...
exo7 6885
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 6886
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
...
exo7 6887
Calculer les déterminants suivant : ...
exo7 7413
Pour un entier \(n\geq 2\) et \(x\) dans \(\Rr\) ...
exo7 7801
Montrer sans calcul que la matrice suivante \(A\) à coefficients complexes est inversible ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
exo7 7890
Montrer qu’en dimension \(2\) le groupe symplectique d’une forme alternée non dégénérée est isomorphe au groupe sp ...
exo7 897
Soient dans \(\Rr^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}(1,1,0)\), ...
exo7 913
Soit \(E\) un \({ \Cc}\)-espace vectoriel et ...
exo7 979
Montrer que les vecteurs ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
Factoriser dans un déterminant
Soit ...
Inversion d'une matrice
Soit ...
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice \[A_\alpha= \begin{pmatrix} \alpha & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
Matrices de permutation et signature
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un \(1\) par ligne et un ...
Matrices inversibles
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Dans l’affirmative, déterminer la matrice inverse. ...
Matrices inversibles
Déterminer \(a\) tel que la matrice ...
Matrices inversibles
Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse :
...
Matrices, déterminants et inversion
Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs co ...
Puissance d'une matrice à paramètres
Soit la matrice de ...
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution d'un système linéaire
On considère le système de trois équations à trois inconnues \(x,y,z\) suivant : ...
Résolution de système linéaire à paramètre
Résoudre les deux systèmes linéaires suivants en distinguant les cas selon les valeurs de ...
Résolution de système linéaire à paramètre, homogène et non homogène
On considère les systèmes suivants : ...
Système linéaire avec paramètre et déterminant
Considérer le système suivant dépendant d’un paramètre réel \(m\) :
...
Système linéaire paramétré
Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) un paramètre réel. On considère le système linéaire suivant : ...
Système linéaire à paramètre
Soit ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Étude d'une matrice à paramètres
Soit la matrice ...