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Soit \(a\) un réel. On note \(\Delta_n\) le déterminant suivant : ...

Soit \(a\) un réel différent de 1. Pour \(n\in\N\), ...

Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...

Calculer le déterminant suivant : ...

Soit \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : ...

Soit \(u\) l’application de \(\R_{n}[X]\) dans ...

Inverser les matrices ...

Montrer que ...

Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsq ...

On considère les matrices :

...

Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...

Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...

Soient \(n = 2\) ou \(3\) et \(A \in M_n (\Qq)\) ...

Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...

Montrer que si \(n\in \Nn-\{0,1\},A\in M_{n}({\Rr})\), on a : ...

Soit \(A=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr})\) telle que : ...

Calculer les déterminants suivants. ...

Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...

Résoudre \(\begin{cases} -cy + bz = \alpha \\ cx-az = \beta \\ -bx + ay = \gamma \end{cases}\).

L’objectif de ce problème est de résoudre l’énigme du berger :
Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la proprié ...

Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...

Étudier le groupe des isométries du carré.

Une permutation de l’ensemble de \(n\) éléments \(\{1,2,\ldots,n\}\) est une bije ...

Soit \(K=\left\{\text{Id}, f_1,f_2,f_3\right\}\) où \(f_1,\) ...

Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : ...

On nomme \(M_n({\Zz})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coeffic ...

On appelle ordre d’un élément d’un groupe fini \((G,\ast)\) l’ordre du sous-groupe engendré dans ...

On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...

Déterminer \(\text{card}(S_{3})\) et écrire tous les éléments de \(S_{3}\), puis ...

On considère le groupe symétrique \(S_n\).

Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chiffres à chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d’y parvenir ? Même question pour 12 ...

Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions. ...

Soient \(a,b,c\) trois éléments distincts de \(\{1,...,n\}\). Calculer le produit ...

Décrire tous les morphismes de groupe de \((\mathcal{S}_{n},\circ)\rightarrow (\{+1,-1\},\cdot)\), c’est les appli ...

Dans \(\R^{n}\), on désigne par \((e_{1},...,e_{n})\) la base canonique. A une pe ...

On note \(\mathcal{S}_n\) le groupe symétrique des permutations sur \(n\) élément ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un ...

Déterminer tous les éléments \(\sigma \in S_n\) tels que \(\sigma ^2=\sigma\). ...

Rappeler \(\vert S_3\vert .\) Montrer que \(S_3\) ne contient pas d’élément d’o ...

Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...

I
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On définit le centre \(\mathcal{Z}(G)\) de ...

Quel est l’ordre maximal d’un élément de \(S_4 ?\) De \(S_5 ?\) De ...

Calculer \(Z(S_n)\) suivant les valeurs de \(n\in \N .\)

Trouver la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, la signature, l’ordre et une décomposition en produit de transpositions des per ...

Le groupe \(G=\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3\) est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de ...

Quel est le nombre de \(k\)-cycles dans \(\mathcal{S}_k\) puis dans ...

Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathcal{S}_n.\)

Montrer que dans \(\mathcal{S}_n\) on a \(f\circ (a,b)\circ f^{-1}=(f(a),f(b))\). ...

Montrer que \(\mathcal{S}_n\) est isomorphe à un sous-groupe de ...

Montrer que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe de \(S_{n}\) (groupe symétrique) ...