Le premier ensemble n’est pas un groupe car, par exemple, la matrice \(\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\ \end{pmatrix}\) ne peut avoir pour inverse que \(\begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}\\ \end{pmatrix}\) qui n’appartient pas à l’ensemble.

Notons \(G = \{ M \in \mathcal{M}_{2}(\Zz) : \det M = 1 \}\) et montrons que \(G\) est un sous-groupe de \(Gl(2,\Rr)\).

la matrice identité appartient à \(G\).
si \(A,B \in G\) alors \(AB \in \mathcal{M}_{2}(\Zz)\) et \(\det AB = \det A \times \det B = 1\times 1 =1\), et donc \(AB \in G\).
Si \(A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\) (\(a,b,c,d \in \Zz\)) alors \(\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix}\) appartient à \(G\) et est l’inverse de \(A\).

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