Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Identification du cercle trigonométrique et de l’ensemble des nombres complexes de module 1. Définition de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ pour $t \in \mathbb{R}$. Exponentielle d’une somme. | Notation $\mathbb{U}$. |
Formules d’Euler. Technique de l’angle moitié : factorisation de $1 \pm \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$, de $\mathrm{e}^{\mathrm{i}p} \pm \mathrm{e}^{\mathrm{i}q}$. | Les étudiants doivent savoir retrouver les formules donnant $\cos(p) \pm \cos(q)$, $\sin(p) \pm \sin(q)$. Linéarisation, calcul de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(kt)$ et de $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \sin(kt)$. |
Formule de Moivre. | Les étudiants doivent savoir retrouver les expressions de $\cos(nt)$ et $\sin(nt)$ en fonction de $\cos t$ et $\sin t$. |
exo7 52
Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \((z+1)^n=(z-1)^n\).
exo7 5313
Calculer \(a_n=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\), ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5544
Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 5896
Déterminer \(\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}\).
exo7 6
Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 65
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 6655
On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
...
exo7 6661
Soit \(w\) dans \(\C\). Déterminer les nombres complexes ...
exo7 6663
Montrer que la fonction \(f(z)=\tan z\) définie par ...
exo7 6664
Résoudre les équations \(e^z=-3\), \(\cos z=2\), ...
exo7 6866
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
exo7 6961
Soit \(n\in\Nn\). Montrer qu’il existe un unique \(P\in\Cc[X]\) tel que ...
exo7 7005
Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit trois carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés ...
exo7 7149
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(C\) soit l’image de ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 747
Écrire sous forme d’expression algébrique
exo7 7548
On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...
exo7 7549
Trouver la valeur minimale de \(\vert f(z) \vert\) où \(f(z) = e^{z^{2}}\) sur le ...
exo7 7597
Trouver toutes les solutions complexes de l’équation \(\cosh(z)=4i\).
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 7612
Soit \(c\in \Cc\). Montrer que si \(z\in\Cc\), alors ...
exo7 79
Calculer \(\cos 5\theta\), \(\cos 8\theta\), ...
exo7 80
En utilisant les nombres complexes, calculer \(\cos 5\theta\) et \(\sin5\theta\) ...
exo7 82
Exprimer \((\cos 5x) (\sin 3x)\) en fonction de \(\sin x\) et ...
exo7 83
Soit \(x\) un nombre réel. On note ...
exo7 87
Etudier le signe de la fonction donnée par \(f(x)=\cos 3x+\cos 5x.\)
exo7 93
Montrer que tout nombre complexe \(z\) non réel de module \(1\) peut se mettre so ...
exo7 94
Soit \(u\), \(v\) des nombres complexes non réels tels que ...
exo7 95
Calculer les sommes suivantes : \[\sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx).\]