Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 3228
Soit \(\theta \in \R\) tel que \(\sin n\theta \ne 0\). Démontrer que ...
exo7 3229
Démontrer que \(1 + X + X^n\) n’a que des racines simples.
exo7 3230
Quels sont les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que \(P'\) divis ...
exo7 3231
Trouver tous les polynômes \(P \in {\C[X]}\) tels que …
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3233
Soient \(P,Q \in {\C[X]}\) tels que : \(\forall\ z \in \C,\ |P(z)| = |Q(z)|\). D ...
exo7 3234
Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que : \(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on ...
exo7 3235
Soit \(P \in {\Z[X]}\) tel que \(P(x) = 7\) pour au moins 4 valeurs distinctes ...
exo7 3236
Soit \(\alpha \in \C\). On dit que \(\alpha\) est algébriq ...
exo7 3237
Soit \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P\bigl(\sqrt2\bigr) = 0\). Démontre ...
exo7 3238
Montrer que \(x = 2\cos\frac {2\pi}7\) est racine de \(X^3 + X^2 - 2X - 1\). Quel ...
exo7 3239
Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.
exo7 3240
Soit \(P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8\).
Trouver \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3241
Soient \(P,Q \in {\Q[X]}\). Montrer que \(P\) et ...
exo7 3243
Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).
Pour \(x\in\R\) on note ...
exo7 3245
Soient \(a_0,\dots,a_n\in\R\) tels que \(|a_0| + \dots + |a_{n-1}| < a_n\). So ...
exo7 3246
Factoriser \(X^8 + X^4 + 1\) sur \(\R\).
exo7 3247
Démontrer que \(1 + (X-1)^2(X-3)^2\) est irréductible dans ...
exo7 3253
Soit \(K\) un sous-corps de \(\C\), \(a\in K\) e ...
exo7 3254
Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 + pX + q\), ...
exo7 3255
Soient \(x_1,x_2,x_3,x_4\) les racines de \(X^4 + X + 1\). Calculer ...
exo7 3256
Soient \(x_1,\dots,x_8\) les racines de \(X^8 + X^7 - X^2 + 3\). Calculer ...
exo7 3257
Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 - X + 1\). Calculer ...
exo7 3258
Résoudre ...
exo7 3259
Résoudre dans \(\C\) le système : ...
exo7 3261
Soient \(a,b,c \in \C\).
Montrer que ces nombres sont en progression géométrique ...
exo7 3262
Soit \(P = X^3 + pX + q\) de racines \(a,b,c\).
exo7 3263
Soient \(A,B,C\) les points dont les affixes sont les racines de \(X^3 + pX + q\) ...
exo7 3264
Soit \(P = X^4 + aX^2 + bX + c\) de racines \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). CNS p ...
exo7 3265
Soient \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(X^3 + 2X^2 + 3X + 4\).
Calculer le ...
exo7 3266
Soient \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(X^3 + aX^2 + bX + c\).
Calculer le ...
exo7 3267
Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...
exo7 3268
Soit \(n \in \N^*\) et \({\cal E}\) l’ensemble des polynômes à ...
exo7 3269
Soit \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a,b,c,d\) réels. D ...
exo7 3270
Soit \(F \in { K(X)}\) non constante et \(P \in { K[X]}\), ...
exo7 3271
Soient \(F, G_0, \dots, G_{n-1} \in { K(X)}\) telles que ...
exo7 3272
Soit \(F \in {\C(X)}\). Étudier ...
exo7 3273
Trouver tous les couples \((F,G) \in \bigl({\C(X)}\bigr)^2\) tels que ...
exo7 3274
Soit \(F \in {\C(X)}\) telle que \(F(e^{2i\pi/n}X) = F(X)\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3275
Soit \(H = \{ F \in { K(X)}\) tel que \(F(\scriptstyle X) = F(\frac 1X) \}\).
exo7 3276
Soit \(F \in { K(X)}\) définie en \(a \in K\). Démontr ...
exo7 3277
Soit \(F = \frac 1{X^2+1}\). Montrer qu’il existe un polynôme ...
exo7 3278
Soit \(A = \{ F \in { K(X)}\) tels que \(\deg F \le 0 \}\). Démontre ...
exo7 3279
exo7 3280
Décomposer en éléments simples sur \(\R\) puis sur ...
exo7 3281
Calculer les dérivées \(p\)-ièmes des fractions suivantes :
exo7 3282
A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer :
exo7 3283
Soit \(F(X) = \frac 1{R(X)} = \frac 1{(X-a)^2Q(X)}\) avec \(Q(a) \ne 0\). Cherche ...
exo7 3284
Soient \(a_1,\dots,a_n \in K\) distincts et \(P = (X-a_1)\dots(X-a_n)\).
exo7 3285
Soit \(P \in {\C_n[X]}\) \((n \ge 2)\) ayant ...