Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Calcul de primitives
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Primitives d’une fonction définie sur un intervalle à valeurs complexes. Lien entre intégrales et primitives. | Description de l’ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle connaissant l’une d’entre elles. On rappelle sans démonstration que, pour une fonction continue $f$, $x \mapsto \displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ a pour dérivée $f$. On pourra noter $\displaystyle\int^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ une primitive générique de $f$. |
Calcul des primitives, application au calcul d’intégrales. | Primitives de $x \mapsto \mathrm{e}^{\lambda x}$ pour $\lambda \in \mathbb{C}$, application aux primitives de $x \mapsto \mathrm{e}^{ax}\cos(bx)$ et $x \mapsto \mathrm{e}^{ax}\sin(bx)$. |
Primitives des fonctions exponentielle, logarithme, puissances, trigonométriques et hyperboliques, et des fonctions $x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}$, $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$. | Les étudiants doivent savoir calculer les primitives de fonctions du type $x \mapsto \dfrac{1}{ax^2 + bx + c}$ et reconnaître les dérivées de fonctions composées. |
Intégration par parties, changement de variable. | Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité. |
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[x\cos^2 x\] ...
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Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.
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Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : ...
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{8x-3}{\sqrt{12x-4x^2-5}}\] ...
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Calculer les primitives suivantes.
exo7 833
Calculer les primitives suivantes : ...
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Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\text{ch}x \sin (2x)\] ...
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Calculer \(\int_{0}^{1}{\ln (1 + x^2)}\).
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Soient \(I = \int_0^\pi x\cos^2xdx\) et \(J =\int_0^\pi x\sin^2xdx\).
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Soit l’équation différentielle \[(E)\qquad y'+2xy = x.\]
Primitives de fonctions
Déterminer toutes les primitives de \(f(x)=\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\).
Primitives de fonctions rationnelles
Calculer \(I_1=\displaystyle\int \frac{1}{x^2+1}\,dx\).
Primitives de fonctions rationnelles
L’objectif de cet exercice est de trouver l’expression explicite des primitives de \(x \to \frac{1}{(x^2 + 1)^2}\) ...