Programme de mathématiques PC
b) Régularité de la somme d’une série entière de la variable réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Convergence normale d’une série entière d’une variable réelle sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence. | |
Continuité de la somme sur l’intervalle ouvert de convergence. | L’étude des propriétés de la somme au bord de l’intervalle ouvert de convergence n’est pas un objectif du programme. |
Primitivation d’une série entière d’une variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence. | Relation $R\bigl(\sum a_n x^n\bigr)=R\bigl(\sum n a_n x^n\bigr)$. |
Caractère $\mathscr{C}^\infty$ de la somme d’une série entière d’une variable réelle sur l’intervalle ouvert de convergence et obtention des dérivées par dérivation terme à terme. Expression des coefficients d’une série entière de rayon de convergence strictement positif au moyen des dérivées successives en 0 de sa somme. |
Calcul d'une somme de série entière
Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Etude de séries entières
On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4593
Pour \(x \in \R\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n\sin\frac1{\sqrt n}\). ...
exo7 4594
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...
exo7 4595
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4600
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).
exo7 4601
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).
exo7 4602
On note \(T_n\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments.
exo7 4603
Soit \((a_n)\) la suite réelle définie par : \(a_0 = 1\), ...
exo7 5747
Développer en série entière les fonctions suivantes :
| ... |
exo7 5748
Pour \(x\) réel, on pose ...
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 5760
Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...