Programme de mathématiques PC
c) Régularité de la somme d’une série de fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Continuité de la somme d’une série de fonctions : si une série $\sum f_n$ de fonctions continues sur $I$ converge uniformément sur $I$, alors sa somme est continue sur $I$. | En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment, ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation. |
Théorème de la double limite : si une série $\sum f_n$ de fonctions définies sur $I$ converge uniformément sur $I$ et si, pour tout $n$, $f_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$ borne de $I$ (éventuellement infinie), alors la série $\sum \ell_n$ converge, la somme de la série admet une limite en $a$ et : $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) \xrightarrow[x\to a]{} \sum_{n=0}^{+\infty} \ell_n.$ | La démonstration est hors programme. |
Intégration de la somme d’une série de fonctions sur un segment : si une série $\sum f_n$ de fonctions continues converge uniformément sur $[a,b]$ alors la série des intégrales est convergente et : $\displaystyle\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(t)\,\mathrm{d}t.$ | |
Dérivation de la somme d’une série de fonctions : si une série $\sum f_n$ de classe $\mathscr{C}^1$ converge simplement sur un intervalle $I$ et si la série $\sum f_n'$ converge uniformément sur $I$, alors la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f_n$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $I$ et sa dérivée est $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} f_n'$. | En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur tout segment ou sur d’autres intervalles adaptés à la situation. Extension à la classe $\mathscr{C}^k$ sous hypothèse similaire à celle décrite dans le cas des suites de fonctions. |
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4590
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...
exo7 4591
Soit \(\alpha>0\). On considère la fonction \(f_\alpha\) : ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 4610
Montrer que pour \(x \in {]-1,1[}\) : ...
exo7 4611
Montrer que la longueur d’une ellipse de demi-axes \(a,b\) est : ...
exo7 4612
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série de rayon \(R>0\). Montrer, ...
exo7 4617
Soit \((a_n)\) une suite réelle avec \(a_0=0\) et ...
exo7 5751
Pour \(n\in\Nn\), on pose \(W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt\). Rayon de convergen ...
exo7 5753
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}\) pour \(x\) dans ...