Il y a dérivation terme à terme facilement et indéfiniment.

DSE au voisinage de \(0\) : on envisage de permuter les \(\Sigma\) dans : \(f_\alpha(x) = \sum_{n=1}^\infty\sum_{p=0}^\infty e^{-n^\alpha}\frac{(inx)^p}{p!}\), ce qui est légitime si la série \(\sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha}e^{n|x|}\) converge. On en déduit qu’une condition suffisante pour que \(f\) soit DSE au voisinage de \(0\) est \(\alpha \ge 1\) (avec convergence si \(x\in{]-1,1[}\) pour \(\alpha = 1\) et pour tout \(x\in\R\) si \(\alpha > 1\)).

Cas \(\alpha < 1\) : \(|f^{(k)}(0)| = \sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha}n^k \ge e^{-N^\alpha}N^k\) avec \(N=\lfloor k^{1/\alpha}\rfloor\) donc pour \(r>0\) fixé et \(k\) tendant vers l’infini on a \(\ln\Bigl(\Bigl|\frac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}\Bigr|\Bigr) \sim \Bigl(\frac1\alpha-1\Bigr)k\ln(k)\) et la série de terme général \(\frac{f^{(k)}(0)r^k}{k!}\) diverge grossièrement.

DSE au voisinage de \(a\ne 0\) : même raisonnement en écrivant \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty\sum_{p=0}^\infty e^{-n^\alpha}e^{ina}\frac{(in(x-a))^p}{p!}\). En conclusion, \(f\) est analytique sur \(\R\) si et seulement si \(\alpha\ge 1\).

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