Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
a) Convergence et divergence
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sommes partielles d’une série numérique. | La série est notée $\sum u_n$. |
Convergence, divergence, somme. | En cas de convergence, sa somme est notée $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_n$. |
Linéarité de la somme. | |
Le terme général d’une série convergente tend vers 0. Reste d’une série convergente. | Divergence grossière. |
Lien suite-série. | La suite $(u_n)$ et la série télescopique $\sum(u_{n+1}-u_n)$ sont de même nature. |
Séries géométriques : condition nécessaire et suffisante de convergence, somme. Relation $\mathrm{e}^z=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^n}{n!}$ pour $z\in\mathbb{C}$. |
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Calcul de sommes
On admet que \(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\).
Convergence de séries
La série \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{3}{4^n}\) est-elle convergente ? si oui, calculer la somme de cette ...
Domaine de convergence et somme d'une série sentière
- \question{ Vérifier que : $\forall n \in \N$, ...
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
exo7 1293
Soit \(f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})\) décroissante, on pose : ...
exo7 1930
Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...
exo7 1932
Etudier la série de terme général ...
exo7 1933
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1934
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1936
Déterminer la nature des séries de terme général: ...
exo7 1937
Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 1940
Etudier les séries de termes généraux
exo7 1941
Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...
exo7 1942
Soit \(u_n\) une suite décroissante à termes positifs. On suppose \((\sum u_n)\) ...
exo7 1944
En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories
GD: cel ...
exo7 1945
On rappelle que la série harmonique alternée converge et a pour somme ...
exo7 1946
Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...
exo7 1947
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que ...
exo7 1948
Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...
exo7 1949
Soit \(0 < a < b\) et \((u_n)_{n\geq 0}\) défini par ...
exo7 2656
Indiquer pour quelles valeurs de \(\alpha \in\R\) la série ...
exo7 2719
En discutant éventuellement selon la valeur des paramètres réels \(\alpha\) et ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 2723
Soit \((a_n)\) un suite de réels strictement positifs telle que \(\sum a_n\) conv ...
exo7 2724
Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...
exo7 2725
Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...
exo7 2726
En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...
exo7 2872
Pour quelles valeurs de \(p\) (réel) \(\prod_{k=1}^\infty (1 + k^{-p})\) converge ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 3282
A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer :
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 4229
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4289
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue décroissante telle que ...
exo7 4312
Donnez un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4317
Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4360
On pose pour \(n\ge2\) \(u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x\). Montrer ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4413
Étudier la convergence des séries de terme général :
exo7 4414
Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...
exo7 4415
Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?
exo7 4416
Soit \(\alpha >0\). Étudier la série \(\sum u_n\), avec ...
exo7 4417
Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...
exo7 4418
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to a\) et ...
exo7 4420
Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...
exo7 4421
On suppose que la série à termes positifs de terme général \(u_n\) est divergente et on pose ...