Parcourir les exercices

Variable aléatoire $X$ à valeurs réelles d’espérance finie, espérance de $X$.

La variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{x_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est d’espérance finie si la série $\sum x_n P(X = x_n)$ est absolument convergente. Dans ce cas, la somme de cette série est l’espérance de $X$.
Variable aléatoire centrée.

Pour $X$ variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, égalité : $\displaystyle \mathrm{E}(X) = \sum_{n=1}^{+\infty} P(X \geqslant n)$.
Espérance d’une variable géométrique, de Poisson.

Formule de transfert : si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ et si $f$ est définie sur cet ensemble et à valeurs réelles, alors $f(X)$ est d’espérance finie si et seulement si $\sum f(x_n)P(X = x_n)$ est absolument convergente. Dans ce cas : $\displaystyle \mathrm{E}\Bigl(f(X)\Bigr) = \sum_{n=0}^{+\infty} f(x_n)P(X = x_n)$.

La démonstration est hors programme.
On remarque que la formule s’applique aux couples, aux $n$-uplets de variables aléatoires.

Linéarité de l’espérance.

La démonstration est hors programme.

Positivité, croissance de l’espérance.

Si $\lvert X\rvert \leqslant Y$ et $Y$ d’espérance finie, alors $X$ est d’espérance finie.

La démonstration est hors programme.

Si $X$ est positive et d’espérance nulle, alors $(X = 0)$ est presque sûr.

Pour $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes d’espérance finie, alors $XY$ est d’espérance finie et :
$\mathrm{E}(XY) = \mathrm{E}(X)\,\mathrm{E}(Y)$.

La démonstration est hors programme.
Extension au cas de $n$ variables aléatoires.