Programme de mathématiques PT
Fonctions vectorielles d’une variable réelle et courbes paramétrées
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La section sur les fonctions vectorielles trouve une illustration naturelle dans l’étude des courbes paramétrées.
Il convient de formaliser des notions géométriques (courbe paramétrée, tangente) et cinématiques (vitesse, accélération) rencontrées dans d’autres disciplines scientifiques.
Sur des exemples, l’étude d’une courbe paramétrée peut être amenée par la détermination d’un lieu géométrique.
La longueur d’une courbe paramétrée est définie par la formule intégrale et tout développement théorique est hors programme. On peut cependant présenter la définition géométrique à l’aide de figures.
Dans l’étude des propriétés métriques d’une courbe paramétrée, les problèmes de régularité que l’on peut rencontrer dans les calculs n’ont pas à être soulevés et ils n’ont pas l’importance de l’interprétation géométrique que l’on peut obtenir.
L’étude des propriétés métriques d’une courbe paramétrée et celle de l’enveloppe d’une famille de droites privilégient la vision géométrique plutôt que le recours à l’application de formules.
L’étude des courbes définies par une équation polaire est hors programme.
- a) Fonctions vectorielles à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ ($n = 2$ ou $3$) 0
- b) Courbes paramétrées du plan et de l’espace 84
- c) Étude des courbes paramétrées du plan 46
- d) Propriétés métriques d’une courbe plane 52
- e) Enveloppe d’une famille de droites 18
exo7 2046
Tracer les courbes paramétrées suivantes
\[x (t) = \cos^{2} (t) \qquad y (t) = \cos^{3} (t)\sin (t)\]
...
exo7 2047
On fait rouler sans glissement un cercle de rayon \(1\) sur l’axe \((Ox)\). Déter ...
exo7 2048
Tracer la courbe d’équation \(x^{3} + y^{3} = 3xy\) en la coupant par les droites ...
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 2050
Tracer la courbe paramétrée définie par : \[x(t)=t^{2}+2t, y(t)=\frac{1+2t}{t^{2}}.\]
exo7 2052
Soit \(C\) un cercle du plan de centre \((1, 0)\) et de rayon ...
exo7 2053
Déterminer et tracer les courbes dont la tangente en tout point \(M\) fait un angle de ...
exo7 2054
Grâce aux coordonnées polaires, tracer la courbe définie implicitement par la relation ...
exo7 2056
Tracer les courbes d’équations polaires : ...
exo7 2057
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}\) de classe \(C^{1},\) montrer que ...
exo7 2059
Déterminer la longueur de la courbe \(y = \sqrt{x} (1-\dfrac x3)\) pour ...
exo7 2060
Déterminer une abscisse curviligne, la longueur et la développée de l’astroïde.
exo7 2061
Calculer le rayon de courbure de \(\rho (\theta) = \cos (\dfrac{\theta}3)\) en fonction de ...
exo7 2062
Soit \(\mathcal{P}\) la parabole \(y^2 = x\). Déterminer une équation paramétrée ...
exo7 2063
Soit \(\Gamma\) la courbe \(\rho (\theta) = \sqrt{\sin (2 \theta)}\).
exo7 2064
Soit \(M (s)\) un arc \(C^2\) birégulier paramétré par une abscisse curviligne. S ...
exo7 2071
Montrer que la courbe paramétrée \(x (t) =\dfrac 1{ t^2 + t + 1}\) et ...
exo7 2080
Calculer l’aire d’une astroïde.
exo7 2487
Soit \(C\) une courbe fermée du plan, et \(P\) et ...
exo7 2489
Soit \(C\) la cyclode d’équations \(x = t-\sin t, y = 1-\cos t\), et
...
exo7 2490
Soit \(C\) une courbe fermée du plan enclosant une aire \(S\), et ...
exo7 2691
Un cercle de rayon \(R\) roule sans glisser sur l’axe \({\rm O}x\) dans le sens d ...
exo7 2694
Un segment AB de longueur \(l\) se déplace dans le plan de façon que le point A reste constamment sur ...
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2697
Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la courbe dont les équations paramétriques sont les suivantes: ...
exo7 2700
Pour chacune des courbes suivantes, déterminer la tangente en tout point, les points d’inflexion et de rebroussement, les branches infinies, les po ...
exo7 2701
On considère l’ensemble \(\Gamma\) des points du plan
\((x,y)\) qui vérifi ...
exo7 2702
On considère l’arc paramétré du plan défini par \[x= {t^2+1 \over t^3-1}, \quad y = {2t \over t^3-1}.\] Étudier s ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 2704
Épicycloı̈des, hypocycloı̈des -
Soit \(R >0\) un réel, et ...
exo7 2706
Montrer que la courbe de l’espace d’équations paramétriques ...
exo7 2707
Hélice -
Étudier la courbe paramétrée de l’espace définie
par
...
exo7 2708
Trouver en tout point l’équation du plan osculateur à la courbe ...
exo7 2709
On considère l’arc de l’espace défini en coordonnées paramétriques par ...
exo7 2710
Loxodromie de sphère -
On considère la courbe
paramétrique de l’espace définie par
...
exo7 2711
Montrer qu’un cercle \(C\) de diamètre \(a\) et passant par le pôle ...
exo7 2713
Étudier et tracer les courbes définies en coordonnées
polaires ci-après; s’il y a des branches infinies, les
préciser, et préciser la ...
exo7 2715
Montrer que la courbe définie par \[\rho = 1+\tan{\theta\over2}\] admet une asymptote; préciser la position de la ...
exo7 2716
Étudier la courbe définie par \[\theta = t-2\sin t, \qquad \rho =\tan t\] Trouver asymptotes et points doubles. ...
exo7 2717
Construire la courbe ayant pour équation implicite \((x^2+y^2)^2-ax(x^2+2y^2) = 0, (a>0)\).
exo7 4115
Soit \(n>0\) et ...
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4393
Soit \(\cal P\) le plan rapporté au repère \((O,\vec i,\vec j)\). Calculer l’aire ...
exo7 4394
On considère les courbes planes : \({\cal Q}_i\) : \((x^2 = 2q_iy)\) et ...
exo7 4395
Calculer l’aire délimitée par la courbe d’équation \((y-x)^2 = a^2-x^2\).
exo7 4397
Calculer le volume intérieur au paraboloïde d’équation \(x^2+y^2 = 2pz\) et extérieur au cône d’équation ...
exo7 4398
Dans le plan \(Oxy\) on considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4411
Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4856
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...