Programme de mathématiques PT
b) Régularité de la somme d’une série entière d’une variable réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Fonction somme d’une série entière. | |
Théorème de continuité : la fonction somme est continue sur son intervalle de définition. | La démonstration est hors programme. Cet énoncé contient le théorème d’Abel radial, qu’il est inutile de formaliser auprès des étudiants. En dehors de ce cadre, les études au bord de l’intervalle ouvert de convergence ne sont pas un attendu du programme. |
Primitivation d’une série entière sur l’intervalle ouvert de convergence. | La démonstration est hors programme. Relation $R\bigl(\sum a_n x^n\bigr) = R\bigl(\sum n a_n x^n\bigr)$. |
La somme d’une série entière est de classe $\mathscr{C}^\infty$ sur l’intervalle ouvert de convergence et ses dérivées s’obtiennent par dérivation terme à terme. | La démonstration est hors programme. |
Expression des coefficients d’une série entière de rayon de convergence strictement positif à l’aide des dérivées en 0 de sa somme. |
Calcul d'une somme de série entière
Soit la série entière \(\displaystyle \sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n}{n(n-1)}x^n\).
Calcul d'une somme de série entière
En utilisant le résultat de la somme de la série entière \(\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\), déterminer ...
Etude de séries entières
On considère la série entière réelle \(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \dfrac{(n+1)x^n}{2^n}\).
exo7 4564
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple.
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 4593
Pour \(x \in \R\) on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n\sin\frac1{\sqrt n}\). ...
exo7 4594
Soit \((a_n)\) une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière ...
exo7 4595
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4598
En utilisant la relation : \(\tan' = 1 + \tan^2\), exprimer \(\tan^{(n)}\) en ...
exo7 4600
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}\).
exo7 4601
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).
exo7 4602
On note \(T_n\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments.
exo7 4603
Soit \((a_n)\) la suite réelle définie par : \(a_0 = 1\), ...
exo7 5747
Développer en série entière les fonctions suivantes :
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exo7 5748
Pour \(x\) réel, on pose ...
exo7 5752
Calculer \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n\) pour ...
exo7 5760
Soit \((a_n)_{n\in\Nn}\) une suite à valeurs dans \(\{-1,1\}\). Pour ...