À l’aide d’un tableur, calculer les quantités suivantes. Dans \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), le second paramètre est l’écart-type ; dans \(\mathcal E(\lambda)\), \(\lambda\) est le taux.
\(\mathbb P(X\leq1{,}2)\) pour \(X\sim\mathcal N(0,1)\).
\(\mathbb P(X\leq102)\) pour \(X\sim\mathcal N(120,4)\).
Le quantile \(t\) tel que \(\mathbb P(X\leq t)=0{,}9\) pour \(X\sim\mathcal N(120,4)\).
\(\mathbb P(X\geq40)\) pour \(X\sim\mathcal N(50,3)\).
\(\mathbb P(90\leq X\leq120)\) pour \(X\sim\mathcal N(100,15)\).
\(\mathbb P(X\geq5)\) pour \(X\sim\mathcal E(\frac{1}{2})\).
\(\mathbb P(X=3)\) et \(\mathbb P(X\geq2)\) pour \(X\sim\mathcal P(1{,}5)\).
Le réel positif \(t\) tel que \(\mathbb P(100-t\leq X\leq100+t)=0{,}95\) pour \(X\sim\mathcal N(100,15)\).
Prolongement – loi de Student. Pour \(T\sim St(9)\), déterminer \(a\) tel que \(\mathbb P(T>a)=0{,}05\), puis \(c>0\) tel que \(\mathbb P(-c\leq T\leq c)=0{,}95\). Pourquoi les probabilités à fournir à la fonction inverse sont-elles différentes ?
Prolongement – loi du khi-deux. Pour \(Q\sim\chi^2(9)\), déterminer \(b\) tel que \(\mathbb P(Q>b)=0{,}05\), puis \(\ell\) et \(h\) tels que \(\mathbb P(Q<\ell)=\mathbb P(Q>h)=0{,}025\). Quelle probabilité contient \([\ell;h]\) ? Cet intervalle est-il symétrique autour de l’espérance de \(Q\) ?