Soient \(m\), \(n\) et \(p\) trois entiers naturels et \(r_1\), \(r_2\) et \(r_3\) les restes des divisions euclidiennes de \(m\), \(n\) et \(p\) par \(8\). Alors,

\[m^2+n^2+p^2=(8q_1+r_1)^2+(8q_2+r_2)^2+(8q_3+r_3)^2\in r_1^2+r_2^2+r_3^2+8\Zz.\]

Donc \(m^2+n^2+p^2\) est dans \(7+8\Zz\) si et seulement si \(r_1^2+r_2^2+r_3^2\) est dans \(7+8\Zz\).

Comme \(r_1\), \(r_2\) et \(r_3\) sont des entiers entre \(0\) et \(7\), il suffit de vérifier que les sommes de trois carrés d’entiers compris au sens large entre \(0\) et \(7\) ne sont pas dans \(7+8\Zz\).

Or, \(0^2=0\in8\Zz\), \(1^2=1\in1+8\Zz\), \(2^2=4\in4+8\Zz\), \(3^2=9\in1+8\Zz\), \(4^2=16\in8\Zz\), \(5^2=25\in1+8\Zz\), \(6^2=36\in4+8\Zz\) et \(7^2=49\in1+8\Zz\). Donc, les carrés des entiers de \(0\) à \(7\) sont dans \(8\Zz\) ou \(1+8\Zz\) ou \(4+8\Zz\). Enfin,

\[\begin{array}{llll} 0+0+0=0\in8\Zz,\quad&0+0+1=1\in1+8\Zz,\quad&0+0+4=4\in4+8\Zz,&0+1+1=2\in2+8\Zz,\\ 0+1+4=5\in5+8\Zz&0+4+4=8\in8\Zz,&1+1+1=3\in3+8\Zz,&1+1+4=6\in6+8\Zz,\\ 1+4+4=9\in1+8\Zz,&4+4+4=12\in4+8\Zz. \end{array}\]

Aucune de ces sommes n’est dans \(7+8\Zz\) et on a montré qu’un entier de la forme \(8n+7\) n’est pas la somme de trois carrés.

exo7 5293