Écrivons la décomposition de \(15 !=1.2.3.4\ldots15\) en facteurs premiers. \(15 ! = 2^{11}.3^6.5^3.7^2 .11.13\). Un diviseur de \(15 !\) s’écrit \(d = 2^{\alpha}.3^\beta.5^\gamma.7^\delta .11^\epsilon.13^\eta\) avec \(0 \leq \alpha \leq 11\), \(0 \leq \beta \leq 6\), \(0 \leq \gamma \leq 3\), \(0 \leq \delta \leq 2\), \(0 \leq \epsilon \leq 1\), \(0 \leq \eta \leq 1\). De plus tout nombre \(d\) de cette forme est un diviseur de \(15 !\). Le nombre de diviseurs est donc \((11+1)(6+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4032\).

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