Soit \((E,f)\) et \((E,f')'\) deux espaces symplectiques non-singuliers de dimension \(4\). Soit \(d\subset E\) et \(d'=vect(x')\subset E'\) deux droites et \(f\) une application linéaire bijective de \(d\) sur \(d'\). On écrit \(d=vect(x)\) et \(d'=vect(x')\) où \(x'=f(x)\).

Notons que comme \(d\) et \(d'\) sont de dimension \(1\) donc isotropes, \(f\) est une isométrie (pour les formes bilinéaires induites). Puisque \(f\) est non dégénérée, on choisit un vecteur \(z\) (non colinéaire à \(x\)) tel que \(f(x,z)\) est non nul donc inversible dans \(k\). On définit \(y\) sous la forme \(y=\alpha x+ f(x,z)^{-1}z\). Alors, \((x,y)\) est une paire symplectique. L’orthogonal de \(vect(x,y)\) (muni de la forme induite) est un plan non-singulier puisque \(vect(x,y)\) est non-singulier. Par la construction précédente, on y trouve une paire symplectique \((X,Y)\). Le même raisonnement permet de trouver une base \((x',y',X',Y')\) de \(E'\) telle que \((x',y')\) et \((X',Y')\) soient deux paires symplectiques orthogonales de \(E'\). L’application \(f\) définie par \(x\mapsto x'\), \(y\mapsto y'\), \(X\mapsto X'\) et \(Y\mapsto Y'\) est une isométrie de \(E\) sur \(E'\) qui prolonge \(f\).

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