Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métrique
\(d(f,g)=\int_0^1\vert f-g\vert\ dx\), puis de la métrique
\(d(f,g)=\sup_x\vert f(x)-g(x)\vert\). Vérifier que l’application
\(f\to \int_0^1 f dx\) de
\(C\) dans
\(\Rr\) est continue dans les deux cas.