1
Soit \(f:\Rr \to \Rr\) une application \(C^\infty\) et soit \(n\geq 1\). Établir l’équivalence des propriétés suivantes:
2
\(f(0)=f'(0)=...=f^{(n-1)}(0) =0\).
3
\(f(x) = x^n g(x)\) avec \(g\in C^\infty\).
4
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) contenant \(0\) et soit \(f\in C^\infty (\Omega , \Rr )\). On suppose \(f(0)=Df(0)=0\). Montrer qu’il existe \(g_{i,j} \in C^\infty (\Omega , \Rr )\) telles que \(f(x) = \sum_{i,j=1}^n x_ix_j g_{i,j}(x)\).